• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Logarithmusfunktionen

      Inhalte mit Erklärungen

      Datum Sep 28, 2026
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      Logarithmusfunktionen
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      In der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen wurden Logarithmen zu beliebigen Basen und die dazugehörenden Rechengesetze eingeführt. Dort wurde folgendes definiert bzw. bewiesen:
      Definition 1: Logarithmus
      Seien a,b∈ℝ a>0, a≠1, und b>0 gegeben. Die reelle Zahl c, die die Gleichung ac =b erfüllt, bezeichnet man als Logarithmus von b zur Basis a und man schreibt c= loga (b). Kurz:
      loga (b)=c   ⇔    ac =b .

      Der Logarithmus loga (b) ist also diejenige reelle Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
      Der Logarithmus ist somit als eine der Rechenoperationen definiert, die das Potenzieren umkehrt.
      Regel 1: Logarithmengesetze
      Für alle a∈ℝ+ mit a≠1,β∈ℝ,x,y∈ℝ+ gilt:
      loga (x·y) = loga (x)+ loga (y), loga ( x y ) = loga (x)- loga (y), loga ( xβ ) = β  loga (x) .

      Mit Hilfe des Logarithmus kann man nun zur Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion definieren, die man Logarithmusfunktion nennt:
      Definition 2: Logarithmusfunktion
      Eine Funktion f:ℝ+ →ℝ mit der Funktionsvorschrift f(x)=b· loga (x) mit a∈ℝ+  \ {1} und b∈ℝ heißt Logarithmusfunktion zur Basis a.

      Video 2
      In diesem Video wird das Bilden von Logarithmen als funktionaler Zusammenhang erläutert.
      Wichtig: Die Logarithmusfunktion ist (wie auch der Logarithmus einer Zahl selbst) nur für positive Werte von x definiert.
      Des Weiteren dürfen als Basis a nur positive Werte ≠1 gewählt werden, da der Logarithmus ansonsten nicht definiert ist.

      download-icon.png Applet herunterladen
       
      Aufgabe 2
      Was bleibt immer gleich, wenn Sie die Basis der Logarithmusfunktion ändern?
      Beachten Sie, dass als Basis nicht a=1 gewählt werden darf, weil die Logarithmusfunktion dafür nicht definiert ist (siehe oben).
      Der Schnittpunkt mit der x-Achse.
      Der Schnittpunkt mit der y-Achse.
      Die Steigung am Punkt (1;0).
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
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      Die Basis der Logarithmusfunktion entspricht im Applet dem Parameter a. Ändert man ihn, so ändert sich die Steigung des Graphen.
      Gleich bleibt hingegen die Tatsache, dass er an der Stelle (1;0) die x-Achse schneidet.
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      Der natürliche Logarithmus ( ln)
      Nimmt man als Basis des Logarithmus die Eulersche Zahl e, so erhält man den natürlichen Logarithmus
      y=ln(x)   ⟺    ey =x ,   x>0 .

      Die Funktion zum natürlichen Logarithmus lautet daher:
      Definition 3: Der natürliche Logarithmus als Funktion
      Die Funktion f:ℝ+ →ℝ mit f(x)=ln(x) ist die Logarithmusfunktion zur Basis e, also mit dem natürlichen Logarithmus.
      8_lv_lnfunk.png
      Bild 3 Graph der e-Funktion (blau) und des natürlichen Logarithmus (rot).
      Bemerkung: Der Graph von ln(x) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion ex an der ersten Winkelhalbierenden. Die Funktion ln(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ex ; siehe Kapitel Umgang mit Funktionen der Lerneinheit Höhere Funktionen zum Thema Umkehrfunktionen.

       
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