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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Exponentialfunktionen
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_expfkt_
  
  Exponentialfunktionen
  
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  bereich_3
  
  Exponentialfunktion zur Basis $a$
  
  Definition 1definition_1
  Eine Funktion $f : ℝ \to ℝ$ , welche die Funktionsvorschrift $f (x) = a^{x}$ mit $a \in ℝ^{+}$ , $a \neq 1$ besitzt, heißt Exponentialfunktion zur Basis $a$ .
  
  Mit der folgenden Interaktion können Sie sich den Verlauf der Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = a^{x}$ ansehen. Den Wert für $a$ steuern Sie mithilfe des Schiebereglers in der linken unteren Ecke.
  
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NHhZIPACyQYDhitebbdPRZUUYbMF1Xckd3EyYoRSt+53s8P7nwiXo1gOz750P0cw5h7Fizeo/wCtnIT4iC933JDETVbsVdFdy65ZHORykEz6krrhBYjnA5ljrTVO6iQxcU+GlywIIyhx+cLQXK91UvYEbKASuPt5A7VQHcvJ9RBpGhOgYuwEHI7ohr9V+BDGgpj5Crh0Sh1L1lU2Ek7Q7LjmzhdyG650mXjCOAajyT1WWsj74IGrIP4qUDTn5AYwt7So6DIU7+Q1xz8ge3JdtZrCm/rW1YQV6+w0j9l5Mflq/F8sln4ipgAS9UrBSJuLDh2++3pcv4Eu8OMoe+6f8g1t4NjcwS/bQrfE3gyHKa9h49rg7fbv/ji2Z+ANKu/+cZtS6rykLvePAh9PHQS6v8CZ6K40GxrydSP6DifPLeq2lwUjHOcU5jh5KKwr/OVF8fmwfhvCd3BvuYPzmv31jXiCYS1tl/2Dfvhbv5O/vxYfv4MW2/rG35V1IG1Dnnep+DNJ/GcRHEF2r0uTAOYx0xtBAM+vDYoLN8o37EcuePXx3Sj3o0kZ05i3uwQyDCFyZZhTHqT+LsvEBAALy8Uib4wA8zHRD/p8zXngn4w0n5/8z5U1jx3jxIxkvODKe7xgv9z+b8P7HmuD+ownvy1nuPLzz8Z5H51b3A+PLPwFQSwcI+1u9vjEHAAAsFQAAUEsBAhQAFAAICAgA7lz0UEXM3l0aAAAAGAAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgICADuXPRQv11WVwwFAAA4JgAAFwAAAAAAAAAAAAAAAABeAAAAZ2VvZ2VicmFfZGVmYXVsdHMyZC54bWxQSwECFAAUAAgICADuXPRQcSqtd0sDAAAuEQAAFwAAAAAAAAAAAAAAAACvBQAAZ2VvZ2VicmFfZGVmYXVsdHMzZC54bWxQSwECFAAUAAgICADuXPRQ+1u9vjEHAAAsFQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAA/CQAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAAEAAQACAEAAKoQAAAAAA==" 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  Video 2video_2
  
  In diesem Video werden wichtige Funktionswerte von Exponentialfunktionen beschrieben.
  
  Satz 1satz_1
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ, f (x) = a^{x}$ mit $a \in ℝ^{+}$ und $a \neq 1$ hat folgende Eigenschaften:
  
  $f (0) = 1$
  
  $f (1) = a$
  
  $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ . Das bedeutet insbesondere, dass $f$ keine Nullstellen besitzt.
  
  Wenn $a > 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton steigend, d. h. aus $x_{1} < x_{2}$ folgt $f (x_{1}) < f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  Wenn $0 < a < 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton fallend, d. h. aus $x_{1} < x_{2}$ folgt $f (x_{1}) > f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$
  
  $f (x + 1) = f (x) \cdot a$ für alle $x \in ℝ$
  
  Video 3video_3
  
  In diesem Video werden wichtige Eigenschaften von Exponentialfunktionen erläutert.
  
  Begründungen mithilfe der Potenzgesetze
  [Ausblenden]
  Die Potenzgesetze für reelle Exponenten sind im Kapitel Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen ausführlich beschrieben. Sie sind die Grundlage für die folgenden Begründungen.
  
  $f (0) = a^{0} = 1$
  
  $f (1) = a^{1} = a$
  
  Da nach Definition der Exponentialfunktion $a > 0$ gilt, folgt nach Definition der Potenzen, dass auch $a^{x} > 0$ und somit $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ .
  
  Sei $a > 1$ und $x_{1} < x_{2}$ , dann gilt $x_{1} + d = x_{2}$ mit einem $d \in ℝ$ und $d > 0$ .
  Es gilt $f (x_{2}) = f (x_{1}) \cdot a^{d}$ , denn $f (x_{2}) = a^{x_{2}} = a^{x_{1} + d} = a^{x_{1}} \cdot a^{d} = f (x_{1}) \cdot a^{d}$ .
  Wegen $d > 0$ und $a > 1$ gilt zudem $a^{d} > 1$ und damit folgt $f (x_{2}) > f (x_{1})$ .
  
  Sei $0 < a < 1$ und $x_{1} < x_{2}$ . Wie zuvor in 4. zeigt man $f (x_{2}) = f (x_{1}) \cdot a^{d}$ .
  Wegen $d > 0$ und $0 < a < 1$ gilt zudem $0 < a^{d} < 1$ und damit folgt $f (x_{2}) < f (x_{1})$ .
  
  Mit Hilfe der Potenzgesetze formen wir um:
  $\begin{matrix} f (x_{1} + x_{2}) & = & a^{x_{1} + x_{2}} \\ = & a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}} \\ = & f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) \end{matrix}$
  
  Es gilt mit voriger Eigenschaft, sowie $x_{1} : = x$ und $x_{2} : = 1$ und $f (1) = a$ :
  $\begin{matrix} f (x + 1) & = & f (x) \cdot f (1) \\ = & f (x) \cdot a \end{matrix}$
  
  [Ausblenden]
  
  Weiterführende Bemerkung zu 7.
  [Ausblenden]
  Die Eigenschaft kann man wie folgt formulieren:
  
  Falls $a > 1$ :
  Wann immer man das Argument $x$ um $1$ erhöht, wächst die Funktion um den Faktor $a$ :
  $f (x + 1) = a \cdot f (x) > f (x) .$
  
  Für $0 < a < 1$ gilt:
  Wann immer das Argument $x$ um $1$ erhöht wird, fällt die Funktion um den Faktor $a$ :
  $f (x + 1) = a \cdot f (x) < f (x)$
  
  Man kann die Aussage verallgemeinern für $Δ x > 0$
  $f (x + Δ x) = a^{x + Δ x} = a^{x} \cdot a^{Δ x} = a^{Δ x} \cdot f (x)$
  
  $(*)$ Wann immer $x$ um die Differenz $Δ x$ wächst, wächst/fällt $f$ immer mit dem konstanten Faktor $a^{Δ x}$ .
  
  Falls $a > 1$ ist, ist auch $a^{Δ x} > 1$ , also wächst $f$ um diesen Faktor.
  Falls $0 < a < 1$ ist, so ist auch $a^{Δ x} < 1$ , also fällt $f$ um diesen Faktor.
  Die Aussage $(*)$ ist eine charakteristische Eigenschaft exponentiellen Wachstums.
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  Erweiterung der Exponentialfunktion
  
  Wir betrachten Funktionen $f$ der Form: $f (x) = a^{c x}$ , mit $a, c \in ℝ$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $c \neq 0$ .
  
  Bild 6 Dargestellt sind Ausschnitte der Graphen von drei Funktionen mit $f (x) = 3^{1,1 \cdot x}$ (schwarz), $g (x) = {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2} \cdot x}$ (blau) und $h (x) = 2^{- 3 \cdot x}$ (rot).
  
  Im Folgenden Satz werden die Eigenschaften solcher Exponentialfunktionen angegeben.
  
  Satz 2satz_2
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = a^{c x}$ $(a, c \in ℝ$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $c \neq 0)$ hat folgende Eigenschaften:
  
  $f (0) = 1$
  
  $f (1) = a^{c}$
  
  $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ . Das bedeutet insbesondere, dass $f$ keine Nullstellen besitzt.
  
  Wenn $1 < a^{c}$ ist, dann ist $f$ streng monoton steigend.
  
  Wenn $0 < a^{c} < 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton fallend.
  
  $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  $f (x + 1) = f (x) \cdot a^{c}$ für alle $x \in ℝ$ .
  
  Begründungen der Eigenschaften
  [Ausblenden]
  Die Begründung dieser Eigenschaften lässt sich auf die zuvor begründeten Eigenschaften für Exponentialfunktionen (s.o.) zurückführen, indem wir die Funktionsgleichung wie folgt umformen: $f (x) = a^{c x} = (a^{c})^{x}$ . Das kann man mit dem entsprechenden Potenzgesetz machen.
  Die nachfolgende Tabelle zeigt zusätzlich, in welchen Fällen $a^{c} > 1$ bzw. $a^{c} < 1$ gilt.
  
  $a > 1$ $0 < a < 1$
  
  $c > 0$ $a^{c} > 1$ $0 < a^{c} < 1$
  
  $c < 0$ $0 < a^{c} < 1$ $a^{c} > 1$
  
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  Exponentialfunktion zur Basis $e$
  
  Definition 2definition_2
  Die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = e^{x}$ bezeichnet man als Exponentialfunktion zur Basis $e$ . Die Zahl $e$ steht für die irrationale Eulersche Zahl ( $e \approx 2,7183$ ). Der Wertebereich von $f$ ist die Menge aller positiven reellen Zahlen.
  
  In den meisten Anwendungen für Exponentialfunktionen wird die Exponentialfunktion zur Basis $e$ verwendet. Dies hängt u. a. mit ihrer Ableitung zusammen. Die Exponentialfunktion zur Basis $e$ stimmt mit ihrer Ableitung überein, d.h. für
  $f (x) = e^{x}$
  ist die Ableitung
  $f' (x) = e^{x}$
  Auf diese Eigenschaft wird in der Lerneinheit Differentialrechnung genauer eingegangen.
  
  Basiswechsel von Exponentialfunktionen
  
  Es lässt sich schnell zeigen, dass sich jede Exponentialfunktion zur Basis $a$ in eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ transformieren lässt. Für die Umrechnung ist wichtig, dass man eine positive, reelle Zahl $a$ auch so schreiben kann: $a = e^{\ln (a)}$ . Dabei bezeichnet $\ln$ den natürlichen Logarithmus, also den Logarithmuns zur Basis $e : \ln = \log_{e}$ . Folgende Gleichung veranschaulicht die erforderlichen Umformungen:
  $a^{x} = {(e^{\ln (a)})}^{x} = e^{\ln (a) \cdot x}$
  
  Info 1: Basiswechselinfo_1
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = a^{x}$ , $a \in ℝ^{+}$ , $a \neq 1$ , kann in eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ umgeschrieben werden. Es gilt: $f (x) = e^{\ln (a) \cdot x}$ .
  
  Nach diesen Vorüberlegungen kann man feststellen, dass sich die Familie der Exponentialfunktionen auf zwei Weisen parametrisieren lässt.
  Die Funktionsgleichung $f (x) = a^{x}$ , kann man schreiben als $f (x) = e^{λ x}$ mit $λ = \ln (a)$ .
  Die Funktionsgleichung $f (x) = e^{λ x}$ , kann man schreiben als $f (x) = a^{x}$ mit $a = e^{λ}$ .
  Die Familie der Exponentialfunktionen kann man also auf zwei Weisen parametrisieren:
  $f (x) = a^{x} (a \in ℝ, a > 0, a \neq 1) oder f (x) = e^{λ x} (λ \in ℝ, λ \neq 0)$
  In der Hochschulmathematik wird oft mit der Funktionsfamilie $e^{λ x}$ $(λ \neq 0$ ) gearbeitet.
  
  Info 2info_2
  Mithilfe von Exponentialfunktionen der Form $f (x) = e^{λ x}$ lassen sich Wachstumsprozesse ( $λ > 0$ ) und Zerfallsprozesse ( $λ < 0$ ) beschreiben.
  
  In der folgenden Tabelle wird dargestellt, in welchen Fällen Wachstums- und Zerfallsprozesse in beiden Parametrisierungsvarianten beschrieben werden können $(λ = \ln (a))$ .
  
  $a^{x}$ $e^{λ x}$
  
  Wachstum $a > 1$ $λ > 0$
  
  Zerfall $0 < a < 1$ $λ < 0$
  
  Video 4video_4
  
  In diesem Video wird die Halbwertszeit des radioaktiven Zerfalls von Caesium bestimmt.
  
  Erweiterung der Exponentialfunktion
  
  Auch Funktionen $f$ der Form $f (x) = b \cdot a^{c x}$ (mit $a \in ℝ^{+}$ , $a \neq 1$ und $b, c \in ℝ \ {0}$ ) heißen Exponentialfunktion, also insbesondere auch Funktionen des Typs $f (x) = b \cdot e^{λ x}$ (mit $b, λ \in ℝ \ {0}$ ).
  
  Satz 3satz_3
  Für eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ, f (x) = b \cdot e^{λ x}$ mit $b, λ \in ℝ \ {0}$ gilt: $f (0) = b$ .
  
  Beweis:
  $f (0) = b \cdot e^{λ \cdot 0} = b \cdot e^{0} = b \cdot 1 = b$ .
  
  Der Graph einer solchen Exponentialfunktion schneidet die $y$ -Achse also immer bei $b$ .
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Aufgrund des oben beschrieben Basiswechsels stehen uns nun zwei Möglichkeiten zur Verfügung, wenn wir etwa Wachstumsvorgänge modellieren möchten.
  Als Beispiel betrachten wir die folgende (vereinfachte) Datenreihe, die einem kontinuierlichem Prozess entnommen ist:
  
  $x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\dots$
  
  $y$ $1$ $2$ $4$ $8$ $\dots$
  
  Gesucht ist eine Parametrisierung als Exponentialfunktion wahlweise in der Form $f (x) = b \cdot a^{x}$ oder $f (x) = b \cdot e^{λ x}$ . Nachfolgend wird beides bestimmt.
  
  Parametrisierung als $f (x) = b \cdot a^{x}$ :
  Wir setzen die ersten beiden Datenpunkte $(1; 1)$ und $(2; 2)$ in die Funktionsgleichung ein und erhalten die beiden Gleichungen:
  (*) $1 = b \cdot a^{1}$
  (**) $2 = b \cdot a^{2}$
  (**) geteilt durch (*) liefert:
  $\frac{2}{1} = \frac{b \cdot a^{2}}{b \cdot a^{1}} \Leftrightarrow a = 2$
  Mit dem Datenpunkt $(1; 1)$ und $a = 2$ erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:
  $1 = b \cdot 2^{1} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ .
  Also gilt:
  $f (x) = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ .
  
  Parametrisierung als $f (x) = b \cdot e^{λ x}$ :
  Wir setzen die ersten beiden Datenpunkte $(1; 1)$ und $(2; 2)$ in die Funktionsgleichung ein und erhalten die beiden Gleichungen:
  (*) $1 = b \cdot e^{λ \cdot 1}$
  (**) $2 = b \cdot e^{λ \cdot 2}$
  Gleichung (**) geteilt durch Gleichung (*) liefert:
  $\frac{2}{1} = \frac{b \cdot e^{λ \cdot 2}}{b \cdot e^{λ \cdot 1}} \Leftrightarrow 2 = e^{λ} \Leftrightarrow λ = \ln (2)$
  Mit dem Datenpunkt $(1; 1)$ und $a = 2$ erhalten wir durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:
  $1 = b \cdot 2^{1} \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ .
  Also gilt:
  $f (x) = \frac{1}{2} e^{\ln (2) x}$ .
  
  Wegen $\frac{1}{2} e^{\ln (2) x} = \frac{1}{2} {(e^{\ln (2)})}^{x} = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ erhalten wir mit dieser Methode (natürlich) dasselbe Ergebnis wie mit der ersten Parametrisierung.
  
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