Exponentialfunktionen

Hinführung

bereich_2

Legende über das Schachspiel und die Reiskörner

Um die gesamte Menge an Reiskörnern zu berechnen, muss man letztlich noch die Anzahl der Körner auf den einzelnen Feldern addieren. Hierbei ergibt sich eine Gesamtzahl von
$18446744073709551615$ Körnern. Die Rechnung können Sie hier nachlesen.  
Um sich die Größenordnung dieser Menge vorzustellen, hier ein paar Rechenbeispiele:

• Diese Menge entspricht der Reisernte von $4$ Jahren, wenn man die gesamte Erdoberfläche (einschließlich Pole und Wasserflächen) vollständig mit Reis bepflanzen könnte.
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  1. Wie schwer ist der gesamte Reis auf dem Schachfeld?
     Wir können davon ausgehen, dass ein Reiskorn etwa $50$ Milligramm wiegt. Das sind $\mathrm{0,05}$ g. (Unterschiedliche Reissorten wiegen natürlich unterschiedlich viel, aber dieser Wert genügt uns für eine grobe Abschätzung.)
     Diesen Wert multiplizieren wir mit der (gerundeten) Anzahl der Reiskörner.
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \mathrm{18,5} \text{Trillionen}· \mathrm{0,05} \text{g}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,925} \text{Trillionen g}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 925 \text{Billiarden g}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 925 \text{Billionen kg}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 925 \text{Milliarden t}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 925\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 \text{t}\hfill \end{array}}$
     Der Reis auf dem Schachfeld wiegt also etwa $925$ Milliarden Tonnen.
  2. Wie schwer ist der Reis, der weltweit in einem Jahr geerntet wird?
     Wir nehmen an, dass wir die gesamte Erdoberfläche (inklusive Pole und Wasserflächen) bepflanzen könnten. Bei Wikipedia (Zugriff im Februar $2020$) kann nachgelesen werden, wie groß die Oberfläche unserer Erde ist: Sie beträgt $510$ Millionen ${\text{km}}^2$.
     Die Fläche rechnen wir in die Einheit Hektar um.
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 510 {\text{Millionen km}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 51\hspace{0.5em}000 \text{Millionen Hektar}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 51 \text{Milliarden Hektar}\hfill \end{array}}$
     Nach Wikipedia (Zugriff im Februar $2020$) war die weltweite Ernte von Reis in der Saison $2017/2018$ etwa $\mathrm{4,6}$ Tonnen pro Hektar. Diesen Faktor multiplizieren wir mit dem Wert für die Erdoberfläche:
     
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 51 \text{Milliarden Hektar}· \mathrm{4,6} \frac{\text{t}}{\text{Hektar}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{234,6} \text{Milliarden t}\hfill \end{array}}$
     
  3. Wie viele Jahre dauert es, bis wir mit der Reisernte die Reismenge des Schachfelds erreichen?
     Dafür teilen wir das Gewicht der Reismenge auf dem Schachbrett durch das Gewicht der Jahresernte:
     ${\displaystyle \frac{925 \text{Milliarden t}}{\mathrm{234,6} \text{Milliarden} \frac{\text{t}}{\text{Jahr}}}=\frac{925}{\mathrm{234,6}} \text{Jahre}\approx \mathrm{3,94} \text{Jahre}}$
     Die Reismenge auf dem Schachfeld ist also etwa die Ernte von $4$ Jahren Reisanbau auf der gesamten Erdoberfläche.

  
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• Der Transport dieser Getreidemenge würde derart viele Fahrzeuge erfordern, dass diese direkt hintereinander gestellt etwa $19\hspace{0.5em}000$ mal um die Erde reichen würden.
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  1. Wie viele Lastwagen (Lkw) braucht man für den Transport des Reises?
     Wie beim ersten Rechenbeispiel schon ausgerechnet, wiegt der Reis auf dem Schachbrett etwa $925$ Milliarden Tonnen.
     Ein Lastwagen hat in der Regel maximal $24$ t Nutzlast.
     Also benötigt man für den gesamten Reis
     ${\displaystyle \frac{925 \text{Milliarden t}}{24 \frac{\text{t}}{\text{Lkw}}}\approx \mathrm{38,54} \text{Milliarden Lkw} .}$
     Im Folgenden rechnen wir vereinfacht mit etwa $40$ Milliarden Lkw.
  2. Wie lang ist die Schlange aus Lastwagen?
     Nach Vorgaben der EU dürfen Nutzfahrzeuge maximal $\mathrm{18,75}$ m lang sein. Wir gehen davon aus, dass alle unsere $40$ Milliarden Lkw diese maximale Länge ausnutzen.
     Wenn wir alle Fahrzeuge direkt hintereinander stellen, dann ist die Gesamtlänge
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 40 \text{Milliarden}· \mathrm{18,75} \text{m}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 750 \text{Milliarden m}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 750 \text{Millionen km}\hfill \end{array}}$
     
  3. Wie oft reicht die Schlange aus Lkw um die Erde?
     Der Umfang der Erde beträgt etwa $40\hspace{0.5em}000$ km (z.B. bei Wikipedia (Zugriff im Februar $2020$) nachzulesen). Das bedeutet, eine Schlange von Lkw, die genau $40\hspace{0.5em}000$ km lang ist, reicht genau einmal um die Erde.
     Unsere Schlange ist mit $750$ Millionen km jedoch deutlich länger als $40\hspace{0.5em}000$ km.
     ${\displaystyle \frac{750\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 \text{km}}{40\hspace{0.5em}000 \text{km}}=18\hspace{0.5em}750}$
     Das heißt, die Lkw-Schlange reicht (gerundet auf Tausender) etwa $19\hspace{0.5em}000$ mal um die Erde.

  
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• Wenn man den Berg Reis z. B. in England abladen würde, wäre das gesamte Land unter einer $\mathrm{3,50}$ m hohen Schicht Reis begraben.
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  1. Wie groß ist das Volumen der gesamten Reismenge auf dem Schachbrett?
     Wir nehmen an, dass ein Reiskorn etwa den Platz eines Quaders der Abmessungen $2$ mm $\times$ 2 mm $\times$ 6 mm benötigt. Die Abschätzung berücksichtigt, dass zwischen den Reiskörnern Lücken bleiben. Die Länge eines Korns von $6$ mm ist ein Durchschnittswert für verschiedene Sorten.
     Das modellierte Volumen eines Reiskorns ist das Volumen eines Quaders:
     ${\displaystyle 2\hspace{0.5em}\text{mm}·2\hspace{0.5em}\text{mm}·6\hspace{0.5em}\text{mm}=24\hspace{0.5em}{\text{mm}}^3.}$
     Das Volumen der etwa $\mathrm{18,5}$ Trillionen Reiskörner auf dem Schachbrett ist dann
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & \mathrm{18,5} \text{Trillionen}· 24\hspace{0.5em}{\text{mm}}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 444 {\text{Trillionen mm}}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 444 {\text{Billiarden cm}}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 444 {\text{Billionen dm}}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 444 {\text{Milliarden m}}^3\hfill \end{array}}$
     
  2. Wie hoch reicht der Reis, wenn er in England abgeladen wird?
     England ist nach Angaben von Wikipedia (Zugriff im Februar $2020$) etwa $130\hspace{0.5em}000$ ${\text{km}}^2$ groß. Eine Umrechnung der Einheiten ergibt:
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 130\hspace{0.5em}000 {\text{km}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 13\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 \text{Hektar}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 1\hspace{0.5em}300\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 \text{Ar}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 130\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 {\text{m}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 130 {\text{Milliarden m}}^2\hfill \end{array}}$
     Wenn der Reis gleichmäßig auf dieser Fläche verteilt wird, erhalten wir die Höhe der Schicht, indem wir das Volumen aus dem ersten Schritt durch die Größe der Fläche teilen:
     ${\displaystyle \frac{444 {\text{Milliarden m}}^3}{130 {\text{Milliarden m}}^2}\approx \mathrm{3,42} \text{m}}$
     Die Reisschicht ist also etwa $\mathrm{3,50}$ m hoch.

  
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• Wie W. Haas $1982$ in der Zeitschrift „Rochade“ schrieb: „Ein Güterzug mit allen Körnern, der mit $80$ km/h, d. h. mit $2$ Waggons pro Sekunde an uns vorbeiführe, jeder einzelne mit $20$ Tonnen Reis beladen, bräuchte dazu $730$ Jahre.“
  Rechnung zum Nachlesen
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  Die Anzahl an Loks, die man bräuchte, um diese Waggons zu ziehen, vernachlässigen wir bei den folgenden Betrachtungen.

  1. Wie viele Waggons werden für den Reis benötigt?
     Jeder Waggon fasst nach den Angaben $20$ Tonnen, wobei insgesamt $925$ Milliarden Tonnen Reis verladen werden müssen. Es werden also
     ${\displaystyle \frac{925 \text{Milliarden t}}{20 \frac{\text{t}}{\text{Waggon}}}=\mathrm{46,25} \text{Milliarden Waggons}}$
     benötigt.
  2. Wie lange brauchen die Waggons, um an uns vorbeizufahren?
     Nach W. Haas fahren $2$ Waggons pro Sekunde an uns vorbei, sodass wir für die etwa $46$ Milliarden Waggons „nur“ $23$ Milliarden Sekunden warten müssen.
     Damit wir uns diese Zeitspanne besser vorstellen können, rechnen wir die Größe in die Einheit Jahre um.
     ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 23\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000 \text{s}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{23\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000\hspace{0.5em}000}{60·60·24·365} \text{Jahre}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \approx \hfill & \mathrm{729,33} \text{Jahre}\hfill \end{array}}$
     Also müssen wir $730$ Jahre am Bahnübergang warten, bis der Zug vorbeigefahren ist.

  
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Fortsetzung der Überlegungen anhand der Einwohnerzahlen von Kassel

Wir wollen nun Überlegungen zu Exponentialfunktionen, die nicht nur für natürliche Zahlen definiert sind, anstellen. Wir haben in der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzen der Form $a^x$ für $a>0$ und alle $x\in ℝ$ definiert. Mit einem Funktionenplotter kann man solche Funktionen plotten. Im nachfolgenden Bild ist der Graph der Funktion mit der Vorschrift $f(x)=2^x$ dargestellt. Wir haben die Funktionswerte an den Stellen $x=\mathrm{1,2},3$ und $x=-1,-2$ hervorgehoben.
Man kann mit Exponentialfunktionen stetige Wachstumsprozesse modellieren. Dazu schauen wir uns genauer an, wie sich das Bevölkerungswachstum von Kassel mit einer Exponentialfunktion modellieren lässt. Angenommen in Kassel hätten Anfang des Jahres $2000$ genau $185000$ Menschen gelebt. Nehmen wir zudem an, die Einwohnerzahl würde jährlich immer um $\mathrm{1,4}$% ansteigen.

• Fragen wir uns zunächst, wieviele Menschen dementsprechend ein Jahr später in Kassel leben würden. Dazu nehmen wir die Zahl von Anfang $2000$ ($185000$), multiplizieren diese mit dem Faktor $\mathrm{0,014}$ (das entspricht $\mathrm{1,4}$%) und erhalten $185\hspace{0.5em}000·\mathrm{0,014}=2590.$ Somit ist die Bevölkerung vom Jahr $2000$ auf das Jahr $2001$ um $2590$ Menschen gestiegen.
  Um schließlich die gesamte Bevölkerungszahl für $2001$ anzugeben, muss dieser Wert letztlich noch zur Zahl aus $2000$ addiert werden. Insgesamt ergibt sich somit:
  ${\displaystyle 2590+185\hspace{0.5em}000=187\hspace{0.5em}590\hspace{0.5em}.}$
  Wir schreiben die Rechnung nun etwas anders auf, weil es uns anschließend ermöglicht, ein Muster zu erkennen:
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{185\hspace{0.5em}000·\mathrm{0,014}+185\hspace{0.5em}000}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·(\mathrm{0,014}+1)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·\mathrm{1,014}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 187\hspace{0.5em}590\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
  
• Gehen wir einen Schritt weiter und versuchen erneut ausgehend von der Bevölkerungszahl von $2000$ direkt die Zahl für $2002$ zu berechnen, so ergibt sich folgendes:
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 185\hspace{0.5em}000·(\mathrm{0,014}+1)·(\mathrm{0,014}+1)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·(\mathrm{0,014}+1{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·{\mathrm{1,014}}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 190\hspace{0.5em}\mathrm{216,26}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \approx \hfill & 190\hspace{0.5em}216\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
  Im letzten Schritt haben wir gerundet, weil Bevölkerungszahlen nur in ganzen Zahlen angegeben werden.
  Analog ergibt sich für $2003$:
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & 185\hspace{0.5em}000·(\mathrm{0,014}+1)·(\mathrm{0,014}+1)·(\mathrm{0,014}+1)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·(\mathrm{0,014}+1{)}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·{\mathrm{1,014}}^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& \approx \hfill & 192\hspace{0.5em}879\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
  
• Wenn wir mit $x$ das um $2000$ reduzierte Jahr bezeichnen, gilt unter unseren Annahmen für die Kasseler Bevölkerung $f(x)$:
  ${\displaystyle f(x)=185\hspace{0.5em}000·1,{014}^x\mathrm{ }\text{ für }x\in \mathbb{N}.}$
  Mit $f(0)=185\hspace{0.5em}000$ können wir auch schreiben
  ${\displaystyle f(x)=f(0)·1,{014}^x\hspace{0.5em}.}$
  Es stellt sich die Frage, ob wir die Kasseler Bevölkerung auch zu anderen Zeitpunkten als für $x\in \mathbb{N}$ damit modellieren können. Wir setzen zunächst negative ganze Zahlen in den Funktionsterm ein. Es ist
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f(-1)}& =\hfill & 185\hspace{0.5em}000·1,{014}^{-1}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & f(0)·1,{014}^{-1}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
  Ähnliches gilt für $x=-2,-3,\dots$
  Wir erhalten folgende Tabelle:

  $x$	$f(x)$
  $-1$	$f(0)·1,{014}^{-1}$
  $-2$	$f(0)·1,{014}^{-2}$
  $-3$	$f(0)·1,{014}^{-3}$
  $-4$	$f(0)·1,{014}^{-4}$
  $⋮$	$⋮$

  Es ist
  ${\displaystyle f(-1)=f(0)·1,{014}^{-1}=\frac{f(0)}{\mathrm{1,014}}\mathrm{ }\text{ bzw. }\mathrm{ }f(0)=f(-1)·\mathrm{1,014}\hspace{0.5em}.}$
  Das würde besagen, dass die Bevölkerung vom Jahr $-1$ ($\widehat{=}$ $1999$) auf das Jahr $0$ ($\widehat{=}$ $2000$) auch um $\mathrm{1,4}$% wächst. Entsprechend gilt
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f(-1)}& =\hfill & f(-2)·\mathrm{1,014}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{f(-2)}& =\hfill & f(-3)·\mathrm{1,014}\hfill \end{array}}$
  Die Gültigkeit von $f(x)$ auch für negative ganze Zahlen anzunehmen, bedeutet inhaltlich, dass wir davon ausgehen, dass auch das Wachstum vor $x=0$ ($\widehat{=}$ $2000$) durch eine konstante Wachstumsrate von jährlich $\mathrm{1,4}$% gekennzeichnet ist.
• Wir betrachten die Funktion $f(x)=185\hspace{0.5em}000·1,{014}^x$ jetzt für positive $x\in ℝ$. Welche Eigenschaften hätte der Wachstumsprozess der Stadt Kassel, wenn wir unterstellen, dass das Modell für alle $x\in ℝ$, $x>0$ gültig ist?
  Kassel wächst nicht nur in jährlichen Schüben, sondern Tag für Tag mit Sprüngen. Jeder reellen Zahl eine Bevölkerungszahl zuzuordnen ist in jedem Fall eine Idealisierung, $f(x)$ ist i.A. auch keine ganze Zahl, müsste bei der Interpretation also gerundet werden.
  Wir betrachten zunächst halbjährliche Schritte:

  $x$	$f(x)$	$f(x)$ alternativ berechnet
  $0$	$f(0)$	$f(0)$
  $\frac{1}{2}$	$f(0)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$	$f(0)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$
  $1$	$f(0)·{\mathrm{1,014}}^1$	$f\left(\frac{1}{2}\right)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$
  $\frac{3}{2}$	$f(0)·1,{014}^{\frac{3}{2}}$	$f\left(1\right)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$
  $2$	$f(0)·{\mathrm{1,014}}^2$	$f\left(\frac{3}{2}\right)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$

  Die letzte Spalte errechnet sich aus den Potenzgesetzen, z.B.
  $f(1)=f(0)·{\mathrm{1,014}}^1=f(0)·1,{014}^{\frac{1}{2}}·1,{014}^{\frac{1}{2}}=f\left(\frac{1}{2}\right)·1,{014}^{\frac{1}{2}}$.
  Charakteristisch wäre für dieses Modell ein halbjährliches Wachstum mit der konstanten Wachstumsrate $1,{014}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{1,014}}\approx \mathrm{1,00698}$. Das entspricht einem halbjährlichen Wachstum von $\mathrm{0,698}$%.
  Entsprechend könnte man bei einer Einteilung in $365$ Tage argumentieren. Nimmt man an, dass $f(x)$ für alle $x$, die Vielfache von $\frac{1}{365}$ sind, ein gültiges Modell darstellt, dann gilt für das tägliche Wachstum $1,{014}^{\frac{1}{365}}=\mathrm{1,00003809}=:d$, d.h. ein tägliches Wachstum von etwa $\mathrm{0,0038}$%. Das wären bei Start bei $185\hspace{0.5em}000$ Personen nach einem Tag rund $185\hspace{0.5em}007$ Personen. Man beachte, dass nicht jeden Tag konstant $7$ Personen dazukommen, das wäre lineares Wachstum, sondern immer derselbe Prozentsatz. Nach $365$ Tagen hat man wieder den Wachstumsfaktor $d^{365}={(1,{014}^{\frac{1}{365}})}^{365}=\mathrm{1,014}$. Das entspricht $\mathrm{1,4}$%.
  Wir können auch noch andere Zeiträume mit unserem Modell beschreiben, wie z. B. $\mathrm{0,05}$ Jahre (das entspricht $\mathrm{18,25}$ Tagen). Das heißt, am $18$. Januar $2000$ leben nach dem Modell dann $f(\mathrm{0,05})=185\hspace{0.5em}000·1,{014}^{\mathrm{0,05}}\approx 185\hspace{0.5em}129$ Menschen in Kassel.
  Für weitere Zeiträume sind die (gerundeten) Funktionswerte in der folgenden Tabelle dargestellt. Eine Rechnung im Detail wird an dieser Stelle ausgelassen, doch die Werte können durch Einsetzen in die Funktionsvorschrift nachgerechnet werden.
  

  $x$	$f(x)$
  $\mathrm{0,05}$	$185\hspace{0.5em}129$
  $\mathrm{0,1}$	$185\hspace{0.5em}257$
  $\mathrm{0,15}$	$185\hspace{0.5em}386$
  $\mathrm{0,2}$	$185\hspace{0.5em}515$
  $\mathrm{0,25}$	$185\hspace{0.5em}644$
  $\mathrm{0,3}$	$185\hspace{0.5em}773$

  
  

Fazit:
Einen Wachstumsprozess mit einer Funktion $f(x)$ für $x\in ℝ$ zu modellieren impliziert starke Annahmen über die Wachstumsvorgänge: bei gleichen Zunahmen um $\Delta x$ wächst $f$ immer um denselben Faktor $1,{014}^{\Delta x}$, der von $\Delta x$ abhängig ist. [Das kann man verallgemeinernd mathematisch zeigen.]
Bei einem konkreten Wachstumsprozess muss man prüfen, ob diese Annahmen zumindest angenähert erfüllt sind, bzw. ob die empirischen Daten durch das Modell annähernd gut beschrieben und vorhergesagt werden. Das wird im Allgemeinen nur für eine Teilmenge $D\subset ℝ$ der Fall sein. Beim Vergleich mit Daten muss man auch berücksichtigen, dass Daten nur zu endlich vielen Zeitpunkten vorliegen und als Messwerte auch immer rationale Zahlen sind. Irrationale Zahlen kommen als Messwerte nicht vor.