Topic: Inhalte kompakt | Exponentialfunktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Exponentialfunktionen
  
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  Definition 1definition_1
  Eine Funktion $f : ℝ \to ℝ$ , welche die Funktionsvorschrift $f (x) = a^{x}$ mit $a \in ℝ^{+}$ , $a \neq 1$ besitzt, heißt Exponentialfunktion zur Basis $a$ .
  
  Satz 1satz_1
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ, f (x) = a^{x}$ mit $a \in ℝ^{+}$ und $a \neq 1$ hat folgende Eigenschaften:
  
  $f (0) = 1$
  
  $f (1) = a$
  
  $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ . Das bedeutet insbesondere, dass $f$ keine Nullstellen besitzt.
  
  Wenn $a > 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton steigend, d. h. aus $x_{1} < x_{2}$ folgt $f (x_{1}) < f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  Wenn $0 < a < 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton fallend, d. h. aus $x_{1} < x_{2}$ folgt $f (x_{1}) > f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$
  
  $f (x + 1) = f (x) \cdot a$ für alle $x \in ℝ$
  
  Satz 2satz_2
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ$ , $f (x) = a^{c x}$ $(a, c \in ℝ$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $c \neq 0)$ hat folgende Eigenschaften:
  
  $f (0) = 1$
  
  $f (1) = a^{c}$
  
  $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ . Das bedeutet insbesondere, dass $f$ keine Nullstellen besitzt.
  
  Wenn $1 < a^{c}$ ist, dann ist $f$ streng monoton steigend.
  
  Wenn $0 < a^{c} < 1$ ist, dann ist $f$ streng monoton fallend.
  
  $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})$ für alle $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ .
  
  $f (x + 1) = f (x) \cdot a^{c}$ für alle $x \in ℝ$ .
  
  Definition 2definition_2
  Die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = e^{x}$ bezeichnet man als Exponentialfunktion zur Basis $e$ . Die Zahl $e$ steht für die irrationale Eulersche Zahl ( $e \approx 2,7183$ ). Der Wertebereich von $f$ ist die Menge aller positiven reellen Zahlen.
  
  Info 1: Basiswechselinfo_1
  Eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = a^{x}$ , $a \in ℝ^{+}$ , $a \neq 1$ , kann in eine Exponentialfunktion zur Basis $e$ umgeschrieben werden. Es gilt: $f (x) = e^{\ln (a) \cdot x}$ .
  
  Info 2info_2
  Mithilfe von Exponentialfunktionen der Form $f (x) = e^{λ x}$ lassen sich Wachstumsprozesse ( $λ > 0$ ) und Zerfallsprozesse ( $λ < 0$ ) beschreiben.
  
  Satz 3satz_3
  Für eine Exponentialfunktion $f : ℝ \to ℝ, f (x) = b \cdot e^{λ x}$ mit $b, λ \in ℝ \ {0}$ gilt: $f (0) = b$ .
  
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