Kurs: Intro Höhere Funktionen

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  Intro Höhere Funktionen
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Intro Höhere Funktionen
  
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  Willkommen!
  
  In der Kurzversion dieser Lerneinheit werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:
  
  Wiederholung von Funktionen im Allgemeinen
  
  Potenzfunktionen
  
  Trigonometrische Funktionen
  
  Umkehrfunktionen
  
  Die mathematischen Inhalte in diesem Kurs sind in eine Einstiegsaufgabe eingebettet.
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  Indem Sie direkt auf die mathematischen Inhalte springen zu einem der Themen:
  Potenzfunktionen
  ,
  Trigonometrische Funktionen
  oder
  Umkehrfunktionen
  . Diese können Sie zur Wiederholung der wichtigsten Regeln nutzen und um einen Überblick über das Themengebiet zu gewinnen.
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  Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird.
  Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Einstiegsaufgabe
  
  Ein Programmierer arbeitet an einem Programm, in dem der Benutzer beim Laden eines bestimmten Datenpaketes einen Ladebalken angezeigt bekommen soll. Das Laden der Daten dauert immer genau $10$ Sekunden, bevor der Benutzer fortfahren kann. Der Programmierer möchte, dass die Benutzer des Programmes den Ladezeitraum als möglichst kurz empfinden. Er kann mithilfe einer Funktion festlegen, wie der Ladebalken sich innerhalb der $10$ Sekunden füllen soll (die Anzeige ist unabhängig vom tatsächlichen, technischen Ladevorgang der Daten).
  
  Dabei sind unterschiedliche Abläufe möglich.
  
  Die oben dargestellte Abbildung stellt die Funktionsgraphen der Funktionen dar, die der Programmierer ausprobieren möchte.
  Der Ladebalken könnte sich innerhalb der $10$ Sekunden gleichmäßig von $0 %$ auf $100 %$ auffüllen. Dies zeigt der rote Graph in der Abbildung oben.
  Alternativ kann der Programmierer es auch so einrichten, dass der Ladebalken sich zu Beginn sehr schnell füllt, und am Ende der $10$ Sekunden immer langsamer. Dieses Verhalten wird durch den blauen Graphen dargestellt.
  Auch das Gegenteil hiervon ist denkbar: Der Ladebalken startet langsam und füllt sich dann immer schneller auf (grüner Graph).
  Eine etwas ausgefallenere Lösung, die in der Praxis aber auch häufiger beobachtet wird ist ein Ladebalken, dessen Füllung zwischendurch sogar immer wieder zurück geht und schwankt, bevor am Ende die $100 %$ erreicht werden. Diese Schwankungen sind auch bei dem schwarzen Graph in der Abbildung zu erkennen.
  Im Folgenden werden die verschiedenen Möglichkeiten einzeln nacheinander betrachtet und die jeweilige Funktion zum Graphen ermittelt.
  Testen und beschreiben Sie unterschiedliche Versionen des Ladebalkens mithilfe geeigneter Funktionen.
  
  Bei welcher Variante haben Sie subjektiv den Eindruck, dass für Sie die Zeit am schnellsten verfliegt, und wie sehen die zugehörigen Funktionen aus?
  
  Die Funktion $f$ , die den Füllstand des Ladebalkens beschreibt, gibt den prozentualen Anteil der Füllung des Ladebalkens in Abhängigkeit von der Zeit an.
  
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  Der Programmierer möchte die Zeit, in welcher der Balken gefüllt wird, in seinem Programm in Sekunden angeben. Er wählt dazu eine Zahlenvariable $x$ . Ein Wert wie $x = 2$ wird dann im Sachkontext als $2 s$ ( $s$ steht für Sekunden) interpretiert. Die Variable $x$ kann also jeden Wert zwischen $0$ und $10$ annehmen. Damit ist der Definitionsbereich der Funktion $f$ festgelegt:
  $D_{f} = [0; 10]$
  Da die Funktionswerte von $f$ den Füllstand des Ladebalkens angeben sollen, ist $ℝ$ eine geeignete Zielmenge für $f$ .
  Die Funktion $f (x)$ gibt die Füllung des Balkens in Abhängigkeit von der Zeit $x$ an.
  
  Aufgabe 1 aufgabe_1
  
  Welchen Wert kann $f (x)$ maximal annehmen?
  
  100
  
  
  Kontrolle
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  Der Ladebalken kann maximal zu $100$ Prozent gefüllt sein. Daher kann als Höchstwert $f (x) = 100$ erreicht werden.
  
  Der Ladebalken startet im leeren Zustand, es muss also $f (0) = 0$ gelten. Welchen Wert muss die Funktion an der Stelle $x = 10$ haben, um die Kriterien für den Ladebalken zu erfüllen?
  
  100
  
  
  Kontrolle
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  Der Ladebalken soll am Ende der Laufzeit zu $100 %$ gefüllt sein. Also muss die gewählte Funktion $f$ die Bedingung $f (10) = 100$ erfüllen.
  
  Eine Möglichkeit die Funktion $f$ zu wählen ist eine lineare Funktion (eine Einführung hierzu gibt es in der Lerneinheit Elementare Funktionen). Wird $f$ als lineare Funktion gewählt, so füllt sich der Ladebalken in einem konstanten Tempo von $0$ auf $100$ Prozent.
  Eine lineare Funktion ist von der Form
  $f (x) = a \cdot x + b$
  wobei $a$ und $b$ Zahlen aus $ℝ$ bezeichnen.
  
  Aufgabe 2 aufgabe_2
  
  Wie muss die Zahl $b \in ℝ$ gewählt werden, damit die lineare Funktion $f (x) = a \cdot x + b$ die Bedingung $f (0) = 0$ erfüllt?
  $b =$
  0
  
  
  Kontrolle
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  Damit $0 = f (0) = a \cdot 0 + b = b$ gilt, muss $b = 0$ gelten.
  
  Wie muss unter dieser Voraussetzung der Koeffizient $a$ in der linearen Funktion gewählt werden, damit der Ladebalken die zu Beginn bestimmten Kriterien erfüllt?
  $a =$
  10
  
  
  Kontrolle
  
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  Es muss $0 = f (0) = a \cdot 0$ gelten, was für jede Wahl von $a$ gilt, und $100 = f (10) = a \cdot 10$ . Letzteres gilt für $a = 10$ . Die resultierende lineare Funktion $f (x) = 10 x$ erfüllt beide Kriterien.
  
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  Damit wurde bereits eine erste Funktion gefunden, die einen geeigneten Ladebalken simulieren kann. Klicken Sie auf „Ladebalken simulieren“, um für die lineare Funktion mit der Zuordnung $f (x) = 10 \cdot x$ den entsprechenden Ladevorgang zu beobachten.
  
  Der Graph einer solchen Funktion wird in der folgenden Abbildung dargestellt:
  
  Die konstante Steigung des Graphen spiegelt sich also in dem konstanten Tempo wider, in dem sich der Ladebalken füllt.
  
  Aufgabe 3 aufgabe_3
  
  Welche Werte nimmt die lineare Funktion $f$ auf dem Definitionsbereich $[0; 10]$ an?
  
  $(0; 100)$
  $[0; 100)$
  $[0; 100]$
  
  Kontrolle
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  Die lineare Funktion $f (x) = 10 x$ nimmt auf dem Intervall $[0; 10]$ jeden Wert zwischen $0$ und $100$ an, insbesondere für $x = 0$ auch den Wert $0 = 10 \cdot 0 = f (0)$ und für $x = 10$ den Wert $100 = 10 \cdot 10 = f (10)$ . Daher ist die dritte Antwort korrekt.
  Man sagt auch: Der Wertebereich von $f$ (eine Teilmenge der Zielmenge von $f$ ) ist $W_{f} = [0; 100]$ .
  
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  Als zweiten Kandidaten betrachtet der Programmierer eine Potenzfunktion. Diese soll die Zuordnungsvorschrift
  $f (x) = a \cdot x^{n}$
  haben, wobei $a \in ℝ$ eine reelle und $n \in ℕ$ eine natürliche Zahl bezeichnen.
  Es müssen nun die beiden Zahlen $a$ und $n$ so bestimmt werden, dass die Funktion wieder die beiden Kriterien $f (0) = 0$ und $f (10) = 100$ erfüllt.
  Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten. Wählt man zum Beispiel einfach $a = 10$ und $n = 1$ , so steht hier wieder die lineare Funktion $f (x) = 10 x$ , die im vorhergehenden Abschnitt betrachtet wurde. Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten, eine geeignete Potenzfunktion zu finden.
  Weitere Informationen zu Potenzfunktionen finden Sie hier:
  Potenzfunktionen
  
  Aufgabe 4 aufgabe_4
  
  Welcher der folgenden Terme erfüllt die Kriterien nicht und kann daher nicht für $f (x)$ gewählt werden?
  
  $f (x) = x^{2}$
  $f (x) = \frac{1}{100} x^{3}$
  $f (x) = \frac{1}{100} x^{4}$
  
  Kontrolle
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  Bei allen drei Funktionen ist die Bedingung $f (0) = 0$ erfüllt. Bei der ersten und letzten Funktion gilt außerdem $f (10) = 100$ , bei der mittleren aber $f (10) = \frac{1}{100} \cdot 10^{3} = \frac{1}{100} \cdot 1000 = 10$ , daher kommt diese Funktion nicht in Frage.
  
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  Der folgende Ladebalken wurde mit der Funktion $f (x) = \frac{1}{100} x^{4}$ programmiert und zeigt den Ladefortschritt.
  
  Der zugehörige Graph sieht folgendermaßen aus:
  
  Am Graph lässt sich ablesen, was auch beim Ladebalken beobachtet werden kann: Die Funktion und damit die Füllung des Balkens wächst am Anfang noch recht langsam, mit zunehmender Steigung des Graphen beschleunigt sich aber auch das Tempo beim Fortschreiten des Ladebalkens.
  
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  Als nächstes möchte der Programmierer testen, wie sich der Ladebalken auf Basis einer Wurzelfunktion füllen lässt. Der Wurzelausdruck in einer Wurzelfunktion kann auf zwei verschiedene, gleichbedeutende Arten aufgeschrieben werden:
  $\sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}$
  wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen bezeichnen.
  In einer Wurzelfunktion kann der Wurzelausdruck zusammen mit einem weiteren reellen Faktor $a > 0$ vorkommen:
  $f (x) = \sqrt[n]{(a \cdot x)^{m}} = (a x)^{\frac{m}{n}}$
  Mehr Informationen finden Sie hier:
  Potenzfunktionen
  
  Auch hier gibt es wieder mehrere Möglichkeiten $a$ , $m$ und $n$ so zu wählen, dass die Funktion $f (x)$ die geforderten Bedingungen erfüllt.
  
  Aufgabe 5 aufgabe_5
  
  Der Programmierer entscheidet sich für eine Quadratwurzel und damit für einen Term der Art
  $f (x) = (a \cdot x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a \cdot x}$
  mit $D_{f} = [0; 10]$ .
  Welchen Wert für $a$ muss man wählen?
  $a =$
  1000
  
  Kontrolle
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  Der gesuchte Wert ist $a = 1000$ .
  Konstruktiv lässt sich $a$ ermitteln, indem eine gemeinsame Lösung für die beiden Gleichungen $f (0) = 0$ und $f (10) = 100$ gesucht wird. Für $f (0) = \sqrt{a \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$ kann jedes $a \in ℝ^{+}$ gewählt werden, daher muss eine Einschränkung durch die Lösung der zweiten Gleichung gefunden werden. Hier gilt:
  $\begin{matrix} f (10) = & \sqrt{a \cdot 10} & = & 100 & | quadrieren \\ \Leftrightarrow & a \cdot 10 & = & 10000 & | : 10 \\ \Leftrightarrow & a & = & 1000 \end{matrix}$
  Die Zahl $a$ kann wieder durch Einsetzen der Funktionswerte $0$ und $10$ überprüft werden. Für $x = 0$ gilt $f (0) = \sqrt{1000 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$ . Einsetzen von $x = 10$ führt zu $f (10) = \sqrt{1000 \cdot 10} = \sqrt{10000} = 100$ .
  
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  Für diese Funktion ergibt sich der folgende Ladebalkenverlauf:
  
  Der Funktionsgraph für $f (x) = \sqrt{1000 x}$ sieht so aus:
  
  An diesem Graphen lässt sich ablesen, dass die Wurzelfunktion (im Gegensatz zur vorher betrachteten Potenzfunktion mit Exponent $4$ ) am Anfang schnell ansteigt und dann der Anstieg zunehmend verflacht. Dies wird beim Ladebalken durch ein schnelles Auffüllen am Anfang und ein immer langsameres Auffüllen gegen Ende der Laufzeit sichtbar.
  
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  Als letzten Kandidaten sucht der Programmierer nach einer Funktion, bei der der Anteil der geladenen Daten während der Ladezeit oszilliert, das heißt sich sowohl nach oben wie auch nach unten entwickelt, bevor die Gesamtmenge der Daten geladen ist. Die folgende Animation zeigt das gewünschte Verhalten des Ladebalkens.
  
  
  
  Aufgabe 6 aufgabe_6
  
  Wie lässt sich eine solche Schwankung mithilfe einer Funktion ausdrücken?
  Der Programmierer versucht es mithilfe einer Kombination aus einer linearen mit einer trigonometrischen Funktion. Er hat schon das Grundgerüst einer solchen Funktion gefunden:
  $f (x) = a \cdot x + 10 \cdot \sin (180^{\circ} \cdot x) .$
  Hier werden trigonometrische Funktionen näher erläutert:
  Trigonometrische Funktionen
  
  Wie muss der reelle Parameter $a$ gewählt werden, um die Voraussetzungen des Ladebalkens zu erfüllen? Prüfen Sie, welchen Wert $a$ annehmen muss, damit $f (0) = 0$ und $f (10) = 100$ gelten.
  $a =$
  10
  
  Kontrolle
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  Um $a$ zu bestimmten wird ausgenutzt, dass die Sinusfunktion periodisch mit der Periode $360^{\circ}$ ist und für ganzzahlige Vielfache von $180^{\circ}$ immer den Wert $0$ hat, das heißt in Termschreibweise:
  $\sin (180^{\circ} \cdot x) = 0$
  für alle ganzzahligen Werte $x \in ℤ$ .
  Aus diesem Grund gilt in jedem Fall $f (0) = a \cdot 0 + \sin (180^{\circ} \cdot 0) = 0 + 0 = 0$ . Hieraus lässt sich also keine weitere Einschränkung für $a$ bestimmten. Dies ist aber mithilfe der zweiten Bedingung $f (10) = 100$ möglich. Es gilt hier – wegen der oben formulierten allgemeinen Eigenschaft der Sinusfunktion – auch $\sin (180^{\circ} \cdot 10) = 0$ . Setzt man also $x = 10$ in die Funktion $f$ ein, so folgt
  $\begin{matrix} f (10) & = & a \cdot 10 + 10 \cdot \sin (180^{\circ} \cdot 10) \\ = & a \cdot 10 + 10 \cdot 0 \\ = & a \cdot 10 . \end{matrix}$
  Damit $f (10) = a \cdot 10 = 100$ gilt muss also $a = 10$ gewählt werden.
  
  Die durch diesen Ladebalken dargestellten Funktion hat den folgenden Graphen:
  
  Hier ist sichtbar: Durch die zwischenzeitlich negative Steigung des Graphen ergibt sich beim Ladebalken, dass der Prozentsatz der Füllung vorübergehend wieder abnimmt, bevor er schließlich (bei postiver Steigung) wieder wächst und letztlich die $100 %$ erreicht.
  Nach der Betrachtung der verschiedenen Ladebalken, welche Möglichkeit sagt Ihnen selbst am meisten zu?
  
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  Der Programmierer hat sich nun für eine der in den vorhergehenden Schritten betrachteten Funktionen entschieden und gibt das Programm zum Testen an einen Kollegen. Dieser stellt beim Laden der Daten, also während der Anzeige des Ladebalkens, ein Problem fest und schickt einen Screenshot an den Programmierer, auf dem der Ladebalken während des Ladevorganges zu sehen ist. Auf dem Screenshot ist ablesbar, dass dieser aufgenommen wurde als der Ladebalken gerade genau $50 %$ als Ladefortschritt angezeigt hat.
  
  Aufgabe 7 aufgabe_7
  
  Wie kann der Programmierer aus dem Ladefortschritt ablesen, zu welchem Zeitpunkt während des Ladevorganges der Screenshot erstellt wurde?
  Finden Sie den richtigen Zeitpunkt (in Sekunden) in dem Zeitintervall $[0; 10]$ in Abhängigkeit von der gewählten Funktion.
  
  Im ersten Fall wurde $f (x) = 10 x$ benutzt.
  So viele Sekunden sind bei der Erstellung des Screenshots vergangen:
  5
  
  Kontrolle
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  Um die vergangene Zeit angeben zu können, muss der Zeitpunkt $x$ gefunden werden, für den $f (x) = 50$ gilt. Es wird also die Gleichung
  $\begin{matrix} 10 x & = & 50 & | : 10 \\ \Leftrightarrow & x & = & 5 \end{matrix}$
  gelöst. So findet sich der Zeitpunkt $x = 5$ .
  
  Im zweiten Fall wurde $f (x) = \sqrt{1000 x}$ verwendet.
  Wie viele Sekunden sind bei der Erstellung des Screenshots vergangen? Geben Sie die Lösung als Dezimalzahl an.
  
  2,5
  
  Kontrolle
  Lösung anzeigen
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  Es wird der Wert für $x$ gesucht, für den $f (x) = \sqrt{1000 x} = 50$ gilt. Dazu wird die Gleichung nach $x$ aufgelöst. Dabei ist zu beachten, dass $x$ für die Zeit steht und daher $x \geq 0$ gilt:
  $\begin{matrix} \sqrt{1000 x} & = & 50 & | quadrieren, x \geq 0 \\ \Leftrightarrow & 1000 x & = & 2500 & | : 1000 \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{2500}{1000} = 2,5 \end{matrix}$
  Der Zeitpunkt, bei dem der auf dieser Funktion basierende Ladebalken genau $50 %$ anzeigt, ist also nach genau $2,5$ Sekunden erreicht.
  
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  Bei der Berechnung des Zeitpunktes haben wir hier die Tatsache verwendet, dass bei den beiden Funktionen der Wert $f (x) = 50$ nur für genau einen Wert $x$ aus dem Definitionsbereich $[0; 10]$ angenommen wurde. Ist dies für jeden Wert aus dem Wertebereich der Funktion der Fall, lässt sich allgemeiner sogar die Umkehrfunktion finden. Diese wird mit $f^{- 1} (x)$ bezeichnet und ordnet jedem Wert $f (x)$ den Ursprungswert $x$ zu. Die Funktion $f^{- 1} (x)$ hat als Definitionsbereich den Wertebereich $W_{f}$ von $f$ . Als Zielmenge kann man $D_{f}$ oder auch $ℝ$ nehmen.
  Eine kurze Erinnerung an Umkehrfunktionen finden Sie hier:
  Umkehrfunktionen
  
  Aufgabe 8 aufgabe_8
  
  Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{100} x^{4}$ ?
  
  $100 x^{4}$
  $(100 x)^{\frac{1}{4}}$
  $100 x^{\frac{1}{4}}$
  
  Kontrolle
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  Ähnlich wie bei den vorangegangenen beiden Aufgaben wird hier der Funktionsterm nach $x$ aufgelöst. Allerdings steht auf der linken Seite der Gleichung nun keine Zahl, sondern $y = f (x)$ , was der $y$ -Koordinate des Graphen der Funktion entspricht:
  $\begin{matrix} \frac{1}{100} x^{4} & = & y & | \cdot 100 \\ \Leftrightarrow & x^{4} & = & 100 y & | \sqrt[4]{} \\ \Leftrightarrow & x & = & \sqrt[4]{100 y} = (100 y)^{\frac{1}{4}} \end{matrix}$
  Bemerkung: Die Umformungen sind äquivalente Umformungen („ $\Leftrightarrow$ “), weil $x$ und $y$ nichtnegative Zahlen sind.
  Um die Umkehrfunktion von $f (x)$ aufzustellen, werden die Variablen $x$ und $y$ wieder vertauscht, da diese Darstellung von Funktionstermen geläufiger ist. Also gilt $f^{- 1} (x) = (100 x)^{\frac{1}{4}}$ .
  
  Was Sie in der ausführlichen Lerneinheit dieses Wissensbereichs erwartet, können Sie im Ausblick nachlesen:
  Zusammenfassung
  
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