• Intro Höhere Funktionen
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      Datum Sep 28, 2026
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      Intro Höhere Funktionen
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      Umkehrfunktionen

      Umkehrfunktionen ermöglichen es, die durch eine Funktion ausgeführte Abbildung „rückgängig“  zu machen, indem der Abbildungsvorgang genau „umgekehrt“ wird. Sie werden verwendet, wenn für einen gegebenen Funktionswert y=f(x) einer Funktion f der entsprechende Wert für x ermittelt werden soll.
      Manche Funktionen können aber nicht umgekehrt werden und haben daher keine Umkehrfunktion.
      Info 3
      Eine Funktion f mit Definitionsbereich D und Zielbereich Z ist umkehrbar, wenn es zu jedem Funktionswert y aus dem Zielbereich Z genau ein Argument x aus dem Definitionsbereich D gibt mit f(x)=y. Die Umkehrung der Funktion f(x) bezeichnet man mit f-1 (y).

      Beispiel 1
      Die Funktion
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=4x-3
      ist umkehrbar, denn jeder Wert y aus dem Zielbereich ℝ besitzt genau ein Urbild:

      y=4x-3   ⟺   x= y+3 4  .

       
      8_kv_fa2.png
      Bild 3 Die Funktion f(x)=4x-3
      Info 4
      Wenn die Funktion f:D→Z umkehrbar ist, dann bezeichnet man mit
      x= f-1 (y)

      die Umkehrfunktion von f mit
      f-1 :Z→D,   x= f-1 (y) .

      Anschaulich kann man sich f als eine Maschine vorstellen, die x in f(x) überführt. Dann ist f-1 eine Maschine, die diesen Prozess rückgängig macht.

      Beispiel 2
      Wir betrachten die Funktion
      f:ℝ→ℝ mit f(x)=3x-4 .
      Die Gleichung y=3x-4 besitzt genau eine Lösung:

      x= 1 3 (y+4).

      Also erhält man die Umkehrfunktion:

      f-1 (y)= 1 3 (y+4)

      Um diese Funktion ins gleiche Koordinatensystem einzuzeichnen, geht man dazu über, die Variable der Umkehrfunktion mit x statt y zu bezeichnen und erhält die Umkehrfunktion
      f-1 :ℝ→ℝ mit f-1 (x)= 1 3 (x+4) .
      8_kv_fkt_umkher.png
      Bild 4 Die Funktion f(x)=3x-4 (rot) und ihre Umkehrfunktion f-1 (x)= 1 3 (x+4) (blau)
      Nicht alle Funktionen sind umkehrbar. Die nachfolgende Funktion stellt ein Beispiel dar, bei dem eine Umkehrfunktion nur auf einem Teil des Definitionsbereiches definiert werden kann.

      Beispiel 3
      Die Funktion
      f:ℝ→ℝ mit f(x)= x2
      ist nicht umkehrbar. Jeder Wert y>0 besitzt zwei Urbilder:

      y= x2    ⟺   x=±y .

       
      Zu allen Werten y<0 existiert kein Urbild, für y=0 gibt es genau ein Urbild x=0.
      8_kv_fa3.png
      Bild 5 Die Funktion f:ℝ→ℝ mit f(x)= x2
      Einstiegsaufgabe
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