Intro Höhere Funktionen

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Willkommen!

In der Kurzversion dieser Lerneinheit werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:

• Wiederholung von Funktionen im Allgemeinen
• Potenzfunktionen
• Trigonometrische Funktionen
• Umkehrfunktionen

Die mathematischen Inhalte in diesem Kurs sind in eine Einstiegsaufgabe eingebettet. Sie befinden sich im Schnelleinstieg des Wissensbereiches. Klicken Sie hier für eine Übersicht über mögliche, persönliche Lernpfade mit dem Schnelleinstieg. Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird. Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.

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Einstiegsaufgabe

Ein Programmierer arbeitet an einem Programm, in dem der Benutzer beim Laden eines bestimmten Datenpaketes einen Ladebalken angezeigt bekommen soll. Das Laden der Daten dauert immer genau $10$ Sekunden, bevor der Benutzer fortfahren kann. Der Programmierer möchte, dass die Benutzer des Programmes den Ladezeitraum als möglichst kurz empfinden. Er kann mithilfe einer Funktion festlegen, wie der Ladebalken sich innerhalb der $10$ Sekunden füllen soll (die Anzeige ist unabhängig vom tatsächlichen, technischen Ladevorgang der Daten).
Dabei sind unterschiedliche Abläufe möglich. Die oben dargestellte Abbildung stellt die Funktionsgraphen der Funktionen dar, die der Programmierer ausprobieren möchte. Der Ladebalken könnte sich innerhalb der $10$ Sekunden gleichmäßig von $0\%$ auf $100\%$ auffüllen. Dies zeigt der rote Graph in der Abbildung oben.
Alternativ kann der Programmierer es auch so einrichten, dass der Ladebalken sich zu Beginn sehr schnell füllt, und am Ende der $10$ Sekunden immer langsamer. Dieses Verhalten wird durch den blauen Graphen dargestellt.
Auch das Gegenteil hiervon ist denkbar: Der Ladebalken startet langsam und füllt sich dann immer schneller auf (grüner Graph).
Eine etwas ausgefallenere Lösung, die in der Praxis aber auch häufiger beobachtet wird ist ein Ladebalken, dessen Füllung zwischendurch sogar immer wieder zurück geht und schwankt, bevor am Ende die $100\%$ erreicht werden. Diese Schwankungen sind auch bei dem schwarzen Graph in der Abbildung zu erkennen. Im Folgenden werden die verschiedenen Möglichkeiten einzeln nacheinander betrachtet und die jeweilige Funktion zum Graphen ermittelt. Testen und beschreiben Sie unterschiedliche Versionen des Ladebalkens mithilfe geeigneter Funktionen.
Bei welcher Variante haben Sie subjektiv den Eindruck, dass für Sie die Zeit am schnellsten verfliegt, und wie sehen die zugehörigen Funktionen aus?

Die Funktion $f$, die den Füllstand des Ladebalkens beschreibt, gibt den prozentualen Anteil der Füllung des Ladebalkens in Abhängigkeit von der Zeit an.

bereich_1 Der Programmierer möchte die Zeit, in welcher der Balken gefüllt wird, in seinem Programm in Sekunden angeben. Er wählt dazu eine Zahlenvariable $x$. Ein Wert wie $x=2$ wird dann im Sachkontext als $2\text{s}$ ($\text{s}$ steht für Sekunden) interpretiert. Die Variable $x$ kann also jeden Wert zwischen $0$ und $10$ annehmen. Damit ist der Definitionsbereich der Funktion $f$ festgelegt:
${\displaystyle D_f=[0;10]}$
Da die Funktionswerte von $f$ den Füllstand des Ladebalkens angeben sollen, ist $ℝ$ eine geeignete Zielmenge für $f$.
Die Funktion $f(x)$ gibt die Füllung des Balkens in Abhängigkeit von der Zeit $x$ an. Eine Möglichkeit die Funktion $f$ zu wählen ist eine lineare Funktion (eine Einführung hierzu gibt es in der Lerneinheit Elementare Funktionen). Wird $f$ als lineare Funktion gewählt, so füllt sich der Ladebalken in einem konstanten Tempo von $0$ auf $100$ Prozent.
Eine lineare Funktion ist von der Form
${\displaystyle f(x)=a·x+b}$
wobei $a$ und $b$ Zahlen aus $ℝ$ bezeichnen.

bereich_1 Damit wurde bereits eine erste Funktion gefunden, die einen geeigneten Ladebalken simulieren kann. Klicken Sie auf „Ladebalken simulieren“, um für die lineare Funktion mit der Zuordnung $f(x)=10·x$ den entsprechenden Ladevorgang zu beobachten.


Der Graph einer solchen Funktion wird in der folgenden Abbildung dargestellt:
Die konstante Steigung des Graphen spiegelt sich also in dem konstanten Tempo wider, in dem sich der Ladebalken füllt.

bereich_1 Als zweiten Kandidaten betrachtet der Programmierer eine Potenzfunktion. Diese soll die Zuordnungsvorschrift
${\displaystyle f(x)=a·x^n}$
haben, wobei $a\in ℝ$ eine reelle und $n\in \mathbb{N}$ eine natürliche Zahl bezeichnen.
Es müssen nun die beiden Zahlen $a$ und $n$ so bestimmt werden, dass die Funktion wieder die beiden Kriterien $f(0)=0$ und $f(10)=100$ erfüllt.
Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten. Wählt man zum Beispiel einfach $a=10$ und $n=1$, so steht hier wieder die lineare Funktion $f(x)=10x$, die im vorhergehenden Abschnitt betrachtet wurde. Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten, eine geeignete Potenzfunktion zu finden.
Weitere Informationen zu Potenzfunktionen finden Sie hier:

bereich_1 Der folgende Ladebalken wurde mit der Funktion $f(x)=\frac{1}{100}{x}^4$ programmiert und zeigt den Ladefortschritt.


Der zugehörige Graph sieht folgendermaßen aus:
Am Graph lässt sich ablesen, was auch beim Ladebalken beobachtet werden kann: Die Funktion und damit die Füllung des Balkens wächst am Anfang noch recht langsam, mit zunehmender Steigung des Graphen beschleunigt sich aber auch das Tempo beim Fortschreiten des Ladebalkens.

bereich_1 Als nächstes möchte der Programmierer testen, wie sich der Ladebalken auf Basis einer Wurzelfunktion füllen lässt. Der Wurzelausdruck in einer Wurzelfunktion kann auf zwei verschiedene, gleichbedeutende Arten aufgeschrieben werden:
${\displaystyle \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}}$
wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen bezeichnen.
In einer Wurzelfunktion kann der Wurzelausdruck zusammen mit einem weiteren reellen Faktor $a>0$ vorkommen:
${\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{(a·x{)}^m}=(ax{)}^{\frac{m}{n}}}$
Mehr Informationen finden Sie hier: Auch hier gibt es wieder mehrere Möglichkeiten $a$, $m$ und $n$ so zu wählen, dass die Funktion $f(x)$ die geforderten Bedingungen erfüllt.

bereich_1 Für diese Funktion ergibt sich der folgende Ladebalkenverlauf:


Der Funktionsgraph für $f(x)=\sqrt{1000x}$ sieht so aus:
An diesem Graphen lässt sich ablesen, dass die Wurzelfunktion (im Gegensatz zur vorher betrachteten Potenzfunktion mit Exponent $4$) am Anfang schnell ansteigt und dann der Anstieg zunehmend verflacht. Dies wird beim Ladebalken durch ein schnelles Auffüllen am Anfang und ein immer langsameres Auffüllen gegen Ende der Laufzeit sichtbar.

bereich_1 Als letzten Kandidaten sucht der Programmierer nach einer Funktion, bei der der Anteil der geladenen Daten während der Ladezeit oszilliert, das heißt sich sowohl nach oben wie auch nach unten entwickelt, bevor die Gesamtmenge der Daten geladen ist. Die folgende Animation zeigt das gewünschte Verhalten des Ladebalkens.
  

Die durch diesen Ladebalken dargestellten Funktion hat den folgenden Graphen:
Hier ist sichtbar: Durch die zwischenzeitlich negative Steigung des Graphen ergibt sich beim Ladebalken, dass der Prozentsatz der Füllung vorübergehend wieder abnimmt, bevor er schließlich (bei postiver Steigung) wieder wächst und letztlich die $100\%$ erreicht. Nach der Betrachtung der verschiedenen Ladebalken, welche Möglichkeit sagt Ihnen selbst am meisten zu?

bereich_1 Der Programmierer hat sich nun für eine der in den vorhergehenden Schritten betrachteten Funktionen entschieden und gibt das Programm zum Testen an einen Kollegen. Dieser stellt beim Laden der Daten, also während der Anzeige des Ladebalkens, ein Problem fest und schickt einen Screenshot an den Programmierer, auf dem der Ladebalken während des Ladevorganges zu sehen ist. Auf dem Screenshot ist ablesbar, dass dieser aufgenommen wurde als der Ladebalken gerade genau $50\%$ als Ladefortschritt angezeigt hat.

bereich_1 Bei der Berechnung des Zeitpunktes haben wir hier die Tatsache verwendet, dass bei den beiden Funktionen der Wert $f(x)=50$ nur für genau einen Wert $x$ aus dem Definitionsbereich $[0;10]$ angenommen wurde. Ist dies für jeden Wert aus dem Wertebereich der Funktion der Fall, lässt sich allgemeiner sogar die Umkehrfunktion finden. Diese wird mit $f^{-1}(x)$ bezeichnet und ordnet jedem Wert $f(x)$ den Ursprungswert $x$ zu. Die Funktion $f^{-1}(x)$ hat als Definitionsbereich den Wertebereich $W_f$ von $f$. Als Zielmenge kann man $D_f$ oder auch $ℝ$ nehmen.
Eine kurze Erinnerung an Umkehrfunktionen finden Sie hier: Was Sie in der ausführlichen Lerneinheit dieses Wissensbereichs erwartet, können Sie im Ausblick nachlesen: