• Intro Höhere Funktionen
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      Datum Sep 28, 2026
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      Intro Höhere Funktionen
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      Potenzfunktionen

      Info 1
      Eine Potenzfunktion besitzt eine Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a x r

      wobei a∈ℝ und r∈ℝ reelle Zahlen sind.
      Bei der Betrachtung von allgemeinen Potenzfunktionen muss man beachten, dass nicht nur natürliche oder ganze Zahlen, sondern auch reelle Zahlen als Exponent zulässig sind.
      Wie in der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen beschrieben, sind rationale Zahlen im Exponenten eine andere Schreibweise für Wurzelausdrücke:
      x 1 n =xn ,


      x m n = xm n .


      Wie in der Lerneinheit Elementare Funktionen erklärt wird, muss man immer den Definitions- und Zielbereich angeben, um eine Funktion zu definieren.
      Der maximal mögliche Definitionsbereich und der Zielbereich einer Potenzfunktion hängen vom Exponenten r ab:
      • Der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion sind die reellen Zahlen ℝ, wenn der Exponent r eine natürliche Zahl ist.
      • Wenn der Exponent ganzzahlig ist (also r∈ℤ) und r<0 gilt, ist der maximale Definitionsbereich ℝ \ {0}, also die reellen Zahlen ohne den Wert Null.
      • Ist der Exponent nicht-ganzzahlig, so erhält man eine Wurzelfunktion bzw. eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten. Diese Funktionen sind nur für positive Werte von x definiert, sodass der maximale Definitionsbereich ℝ0 + ist.
      Als Zielbereich kann man in allen Fällen ℝ wählen.
      Anhand des folgenden Applets können Sie die verschiedenen Fälle betrachten:

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