• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)

      Ergänzungen

      Datum Sep 28, 2026
      orca_hoeherefkt_polynomfkt_
      Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
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      Beispiel 4
      Spezialfälle bei der Nullstellenberechnung
      Die Berechnung der Nullstellen einer Polynomfunktion höheren Grades ist oft nicht ohne weiteres durchführbar. In einigen Spezialfällen kann allerdings die Nullstellenberechnung durch geschickte Umformung erleichtert werden. Zwei dieser Spezalfälle werden hier vorgestellt.
      Spezialfall 1: In jedem Summand der Polynomfunktion ist xk mit k≥1 als Faktor enthalten.
      Mit anderen Worten, es ist möglich xk auszuklammern. Das nachstehende Beispiel zeigt, wie die Vereinfachung anzuwenden ist.
      Sei f(x)=2 x5 +6 x4 -8 x3 eine Polynomfunktion, deren Nullstellen berechnet werden sollen. In diesem Beispiel ist in jedem Summand x3 als Faktor enthalten, sodass dieser Term zunächst ausgeklammert werden kann:
      f(x)= x3 (2 x2 +6x-8) .

      Dies verkürzt die Nullstellenberechung, da direkt 2 x2 +6x-8=0 oder x3 =0 gefolgert werden kann. Damit wurde eine Nullstelle bei x1 =0 gefunden, und es müssen nun lediglich die Nullstellen der quadratischen Restpolynomfunktion berechnet werden:
      2 x2 +6x-8=0   ⇒    x2 +3x-4=0


      ⇒ x2,3 =- 3 2 ± ( 3 2 )2 +4=- 3 2 ± 5 2


      ⇒    x2 =1    und     x3 =-4 .

       
       
      Spezialfall 2: Die Polynomfunktion enthält nur gerade Potenzen von x.
      Beispiel: Es sollen die Nullstellen der Polynomfunktion g(x)= 1 4 x4 -2 x2 +4 bestimmt werden.
       
      Da die Polynomfunktion nur gerade Potenzen von x enthält, kann durch eine Substitution (Ersetzung) hier effektiver gearbeitet werden.
       
      Dazu ersetzt man x2 durch z:= x2 in der Funktion g(x)= 1 4 ( x2 )2 -2 x2 +4. Dadurch entsteht die quadratische Funktion g(z)= 1 4 z2 -2z+4. Jetzt kann man die Nullstellen von g(z) berechnen, wofür in diesem Fall sogar eine binomische Formel angewendet werden kann:
      0= 1 4 z2 -2z+4   ⇒   0= z2 -8z+16   ⇒   0=(z-4 )2

         ⇒   z=4.
      Damit kennt man die Nullstelle z=4 von g(z). Um letztlich die Nullstellen von g(x) zu bestimmen, muss noch resubstituiert werden. Es ergibt sich damit:
      z= x2 =4   ⇒   x=±4   ⇒    x1 =2    und     x2 =-2 .


      Video 3
      In diesem Video werden die Nullstellen einer Polynomfunktion bestimmt, wenn man eine Potenz von x ausklammern kann.

      Missverständnisse bei Graphen von Polynomfunktionen

      Manchmal verhindert ein großer Ausschnitt auch, dass Details erkannt werden können. Betrachten wir hierzu ebenfalls ein Beispiel:
      Wir haben von einer Funktion den Graphen als Darstellung in einem Applet gegeben. Wie viele Nullstellen hat die Funktion? Beantworten Sie diese Frage zunächst ohne im Applet zu zoomen. Nutzen Sie anschließend die Zoom-Funktion und beantworten Sie die Frage erneut.

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      8_lv_exp_ergaenzung_3.png
      Bild 7 Zu diesem Graphen wird eine Funktionsgleichung gesucht.
      Wir beschäftigen uns mit einem weiteren Beispiel und schauen uns den Graphen aus dem nebenstehenden Bild an. Wir versuchen nun die verwendete Funktionsvorschrift zu rekonstruieren.
      Der Graph sieht wie eine Normalparabel aus.
      Auch das (angenäherte) Ablesen der charakteristischen Punkte deutet daraufhin, dass es sich um eine Normalparabel handelt: Der Tiefpunkt liegt passend bei (0;0). Der Graph verläuft durch die Punkte (1;1) und (2;4). Genauso passen auch die Punkt (-1;1) und (-2;4), weil der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Zu den Punkten (3;9) bzw. (-3;9) haben wir keine Aussage, aber nach dem Verlauf am oberen Bildrand könnte der Graph die Punkte treffen.
      8_lv_exp_ergaenzung_4.png
      Bild 8 Zwei Graphen im Vergleich.
      Um das weiter zu überprüfen, zeichnen wir zusätzlich die Funktion g:ℝ→ℝ, g(x)= x2 in rot in das Koordinatensystem ein. Das ergibt das nebenstehende Bild; beide Funktionen unterscheiden sich im Rahmen der Zeichengenauigkeit nicht. In der obigen Abbildung wird jedoch der Plot eines Graphen, der mit GeoGebra hergestellt wurde und welchem eine andere Funktionsvorschrift zu Grunde liegt, dargestellt. Nur auf Grundlage des gewählten Abschnitts war es nicht möglich, den gezeigten Graphenausschnitt von einer Normalparabel zu unterscheiden. Die weiteren Eigenschaften der dargestellten Funktion können nur erkundet werden, wenn weitere Informationen oder Darstellungsausschnitte vorliegen.
      Das folgende Applet zeigt noch einmal den ursprünglichen Graphenauschnitt, dessen Darstellungsausschnitt Sie nun mit dem Schieberegler verändern können.

      download-icon.png Applet herunterladen
       
      Die zum gezeigten Graphenausschnitt zugehörige Funktion ist f:ℝ→ℝ, f(x)=- 1 128 · x4 + x2 . Wir stellen fest, es gibt zwei Funktionen, die in einem Abschnitt (beinahe) identisch aussehen, mathematisch bzw. in anderen Abschnitten aber unterschiedliche Eigenschaften haben.
      Aufgabe 11
      Gehen Sie davon aus, dass das obige Applet den entsprechenden Ausschnitt des Graphen der Funktion f:ℝ→ℝ,f(x)=- 1 128 · x4 + x2 darstellt. Finden Sie durch geeignetes Zoomen im Applet heraus, welche (lokalen) Hoch- und Tiefpunkte f hat und in welchen Bereichen sie monoton steigt bzw. fällt. Lösung anzeigen
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      In der nachfolgenden Abbildung sind die monoton steigenden Abschnitte in rot und die monoton fallenden Abschnitte des Graphenausschnitts in blau dargestellt. Die (lokalen) Hochpunkte bzw. der (lokale) Tiefpunkt befinden sich genau an den Stellen, an denen die beiden Farben des Graphenausschnitts sich abwechseln.
      8_lv_exp_ergaenzung_lsg_kurvendiskussion.png
      Bild 9
      Durch (näherungsweises) Ablesen können diese Punkte bzw. Intervalle wie folgt angegeben werden:
      • Die Hochpunkte sind (-8;32) und (8;32).
      • Der Tiefpunkt ist (0;0).
      • Der Graph steigt (streng) monoton für x≤-8 sowie 0≤x≤8.
      • Der Graph fällt (streng) monoton für -8≤x≤0 sowie 8≤x.
      Für die Funktion f:ℝ→ℝ,f(x)=- 1 128 · x4 + x2 lässt sich berechnen, dass die obigen Angaben auf f exakt zutreffen.

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