Topic: Inhalte mit Erklärungen | Polynomfunktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_polynomfkt_
  
  Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
  
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  bereich_3 Polynomfunktionen
  
  Definition 1definition_1
  Eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion ist eine Funktion
  $p : ℝ \to ℝ mit p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},$
  wobei $n \in ℕ_{0}$ der Grad des Polynoms ist und $a_{0}, \dots, a_{n} \in ℝ$ mit $a_{n} \neq 0$ die Koeffizienten sind.
  
  Bemerkungen
  
  $ℕ_{0}$ bezeichnet die natürlichen Zahlen mit $0$ .
  
  $ℕ$ bezeichnet die natürlichen Zahlen ab der $1$ .
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Die konstante Polynomfunktion $p : ℝ \to ℝ$ mit
  $p (x) = 5$
  ist eine Polynomfunktion vom Grade $0$ .
  
  Beispiel 2beispiel_2
  Die Polynomfunktion $p : ℝ \to ℝ$ mit
  $p (x) = 3 x^{2} - \frac{7}{2} x^{4} + 12 x$
  besitzt den Grad $4$ , da als höchste Potenz $x^{4}$ auftritt. Man kann sie auch nach Potenzen geordnet schreiben, um die Koeffizienten besser ablesen zu können:
  $p (x) = - \frac{7}{2} x^{4} + 0 \cdot x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 0$
  Die Koeffizienten lauten also:
  $a_{4} = - \frac{7}{2}$ , $a_{3} = 0$ , $a_{2} = 3$ , $a_{1} = 12$ und $a_{0} = 0$ .
  
  Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft die Graphen einiger Polynomfunktionen:
  
  Bild 2 Graphen der Polynomfunktionen $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ (rot), $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 3$ (blau) und $h : ℝ \to ℝ$ mit $h (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ (schwarz).
  
  Gleichheit von Polynomfunktionen
  
  Satz 1satz_1
  Seien $p, q : ℝ \to ℝ$ ,
  $\begin{matrix} p (x) & = & a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ q (x) & = & b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0} \end{matrix}$
  mit $a_{0}, \dots, a_{n}, b_{0}, \dots, b_{n} \in ℝ$ und $a_{n} \neq 0$ und $b_{n} \neq 0$ zwei Polynomfunktionen vom Grad $n \in ℕ_{0}$ . Dann gilt $p (x) = q (x)$ für alle $x \in ℝ$ genau dann, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen, also wenn $a_{j} = b_{j}$ für alle $j = 0, \dots, n$ .
  
  Durch Koeffizientenvergleich kann demnach die Gleichheit zweier Polynomfunktionen überprüft werden. Insbesondere können Polynomfunktionen verschiedenen Grades nicht gleich sein.
  Begründung
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  Wenn die Koeffizienten gleich sind, dann sieht man sofort, dass $p (x) = q (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt. Die Umkehrung „Falls $p (x) = q (x)$ für alle $x \in R$ , dann sind alle Koeffizienten gleich“ ist mathematisch wesentlich schwerer zu begründen. Auf einen Beweis wird an dieser Stelle verzichtet. In der Schule hat man diesen Sachverhalt intuitiv vorausgesetzt, z.B. dass zu einem Graph einer Parabel genau eine Gleichung gehört, wenn man sie in der Form $y = a x^{2} + b x + c$ aufschreibt.
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  Nullstellen von Polynomfunktionen
  
  Definition 2definition_2
  Sei $p : ℝ \to ℝ$ eine Polynomfunktion vom Grad $n \in ℕ$ (d.h. $n \geq 1$ ). Eine Zahl $x_{0} \in ℝ$ heißt Nullstelle von $p$ , falls $p (x_{0}) = 0$ .
  
  Bild 3 Graph der Polynomfunktion dritten Grades mit drei Nullstellen bei $x_{1} = - 2; x_{2} = 0 und x_{3} = 1 .$ Es gilt: $P (x) = 2 \cdot (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot x$
  
  Die Polynomfunktionen vom Grad $0$ , also diejenigen $p : ℝ \to ℝ$ , die durch $p (x) = a_{0}$ mit $a_{0} \in ℝ \ {0}$ definiert sind, haben keine Nullstellen.
  
  Video 2video_2
  
  In diesem Video wird ausgehend von den Nullstellen einer Polynomfunktion vom Grad $3$ die Funktionsvorschrift der Polynomfunktion bestimmt.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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