Topic: Anwendung | Polynomfunktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_polynomfkt_
  
  Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
  
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  Beispiel 3beispiel_3
  Lösen von Gleichungen:
  Bei der graphischen Betrachtung der Gleichung $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1 = 4$ stellt man fest, dass beim Auflösen nach $x$ die $x$ -Werte der Schnittpunkte der beiden Polynomfunktionen $f_{1} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1$ und $f_{2} (x) = 4$ berechnet werden. Die folgende Grafik veranschaulicht dies:
  
  Bild 5 Die Graphen von $f_{1} (x)$ und $f_{2} (x)$ und deren beide Schnittstellen $x_{1}$ und $x_{2} .$
  
  Nun wird die Differenzfunktion $f_{3} (x) = f_{1} (x) - f_{2} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ gebildet. Diese Funktion entsteht aus $f_{1}$ durch Verschiebung aller Punkte um 4 nach unten, sodass folgende Situation entsteht:
  
  Bild 6 Graphische Darstellung des Subtraktionsprozesses, bei dem die neue Funktion $f_{3} (x) = f_{1} (x) - f_{2} (x)$ entsteht (roter Graph).
  
  Die Bedingung $f_{1} (x) = f_{2} (x)$ ist äquivalent zu $f_{3} (x) = 0$ . Die Nullstellen der neuen Polynomfunktion
  $f_{3} (x) = f_{1} (x) - f_{2} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$
  liefern die Lösung der Gleichung. Allgemein lässt sich festhalten, dass das Lösen der Gleichung $f (x) = g (x)$ äquivalent ist zur Berechnung der Nullstellen der Differenz $f (x) - g (x)$ der beiden Funktionen.
  
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