Polynomfunktionen

Hinführung

bereich_2 Ein Junge hat sich ein Geschenk für seine Großmutter ausgedacht: Aus durchsichtiger PVC-Folie möchte er einen Würfel basteln. In diesen Würfel möchte er mehrere Lagen aus bunt gefärbtem Sand gießen, bis er vollständig gefüllt ist. Da die Folie sehr stabil ist, kann er sie nicht knicken, sondern nur in Quadrate zerschneiden und die Kanten mit durchsichtigem Klebeband verschließen. Klebeband und die Farben, mit denen er den Sand färben möchte, hat er bereits. Die Folie und den Sand muss er noch kaufen. Nun überlegt er, wie groß der Würfel werden soll. Er möchte dazu ausrechnen, wie viel es ihn kostet, wenn der Würfel eine bestimmte Kantenlänge $a$ besitzt.

• Der Spezialsand im Bastelbedarf kostet $\mathrm{8,90}$ € pro Liter.
• Die Folie kostet $\mathrm{2,35}$ € pro dm${}^2$.

Hinweis: „Liter“  ist eine Einheit für Volumen. Ein Liter entspricht einem dm${}^3$.
Ein Dezimeter (dm) ist ein Zehntel von einem Meter. Man kann den Zusammenhang zwischen den Kosten, die für den Jungen anfallen, und der Kantenlänge $a$ des Würfels auch mithilfe einer Funktion beschreiben. Diese Funktion bildet die Kantenlänge $a$ auf den dazugehörigen Preis $P(a)$ ab. Ihre Definitionsmenge besteht daher aus allen Werten, die für die Kantenlänge $a$ zulässig sind. Dies sind reelle, nichtnegative Werte, also ${ℝ}_0^{+}$. In der Praxis gibt es eine Obergrenze für Werte von $a$. Da diese nicht genau bekannt ist, werden für $a$ alle nichtnegativen Werte zugelassen. Negative Werte für die Kantenlängen ergeben keinen Sinn. Die Wertemenge der Funktion besteht aus den Werten, die für den Preis $P(a)$ in Frage kommen. Auch diese Werte müssen positiv sein, sodass sich auch hier ${ℝ}_0^{+}$ ergibt und man insgesamt $P:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}$ erhält. Die Zuordnungsvorschrift dieser Funktion soll nun aufgestellt werden. Die Funktion, die man so erhalten hat, besteht also aus der Summe von zwei Termen, in denen die Variable $a$ mit verschiedenen Potenzen auftritt. Solche Funktionen nennt man Polynomfunktionen.