Abschnitt: Aufgaben | Polynomfunktionen

Aufgaben

Datum Sep 28, 2026

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Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)

Aufgabe 3
Wie müssen die Koeffizienten

a, b, c

gewählt werden, damit die beiden folgenden Polynomfunktionen übereinstimmen?

p (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 1, q (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1

a =

b =

c =

Kontrolle

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In der ausführlichen Darstellung der Polynomfunktion

p (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 0 x + 1

lassen sich die Koeffizienten von

q (x)

direkt ablesen. Demnach gilt

q (x) = p (x)

für

a = 5 b = - 7 c = 0 .

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Aufgabe 5
Durch Koeffizientenvergleich bestimme man

a

und

b

, sodass gilt:

a (x + 3) + b = 2 x + 1 für alle x \in ℝ .

a =

b =

Kontrolle

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Es wird zunächst ausmultipliziert:

a (x + 3) + b = a x + 3 a + b .

Damit lässt sich die Gleichung schreiben als

a x + 3 a + b = 2 x + 1 .

Hieraus folgt

a = 2 und 3 a + b = 1 .

a = 2

lässt sich nun direkt in

3 a + b = 1

einsetzen, sodass letztlich auch

b

berechnet werden kann:

3 \cdot 2 + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 - 6 = - 5

Insgesamt ist somit

a = 2 und b = - 5 .

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Aufgabe 6
Durch Koeffizientenvergleich bestimme man

a

und

b

, sodass gilt:

a (x - 4) + b (x + 3) = 2 x - 5 für alle x \in ℝ .

a =

b =

Kontrolle

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Aus

a (x - 4) + b (x + 3) = 2 x - 5

folgt durch Ausmultiplizieren der linken Seite

a x - 4 a + b x + 3 b = 2 x - 5 .

Zusammenfassen der Koeffizienten von

x

-Termen gleicher Potenzordnung liefert die Gleichung

(a + b) x - 4 a + 3 b = 2 x - 5,

aus der durch Koeffizientenvergleich die folgenden beiden Gleichungen abgelesen werden kann:

\begin{matrix} a + b & = & 2 \\ - 4 a + 3 b & = & - 5 \end{matrix}

Diese Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, siehe hierzu auch die Lerneinheit Lineare Gleichungssysteme.
Aus der ersten Gleichung ergibt sich

b = 2 - a

, was in die zweite eingesetzt werden kann, um dadurch

a

zu erhalten:

\begin{matrix} - 4 a + 3 (2 - a) & = & - 5 & | ausklammern \\ \Leftrightarrow & - 4 a + 6 - 3 a & = & - 5 & | zusammenfassen \\ \Leftrightarrow & - 7 a + 6 & = & - 5 & | - 6 \\ \Leftrightarrow & - 7 a & = & - 11 & | : (- 7) \\ \Leftrightarrow & a & = & \frac{11}{7} \end{matrix}

Abschließend wird das Ergebnis

a = \frac{11}{7}

noch in die Gleichung

b = 2 - a

eingesetzt, und man erhält:

b = 2 - \frac{11}{7} = \frac{3}{7} .

Insgesamt ist demnach

a = \frac{11}{7} und b = \frac{3}{7} .

zu wählen.
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Aufgabe 7
Suchen Sie bei den Lösungen von Studierenden zu folgender Aufgabe nach den Fehlern. Welche Ursachen können diesen zugrunde liegen? Geben Sie auch jeweils die korrekte Lösung an.

Aufgabenstellung:
Geben Sie bei den folgenden Polynomfunktionen

f_{i} (x)

jeweils zunächst die allgemeine Darstellung

h_{i} (x)

von Polynomfunktionen desselben Grades an und bestimmen Sie dann alle Koeffizienten so, dass gilt

f_{i} (x) = h_{i} (x)

f_{1} (x) = x^{2} + 1

Studierendenlösung: Die zugehörige Polynomfunktion hat allgemein die Darstellung

h_{1} (x) = a_{1} x + a_{0}

. Die Koeffizienten sind dementsprechend

a_{1} = 1 und a_{0} = 1 .

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Die korrekte allgemeine Darstellung lautet

h_{1} (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

und die Koeffizienten sind

a_{2} = 1, a_{1} = 0 und a_{0} = 1 .

Vermutlich hat der Studierende nur auf die Anzahl der Terme geachtet und somit übersehen, dass eine Polynomfunktion zweiten Grades vorliegt.
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f_{2} (x) = x + 3

Studierendenlösung: Es liegt eine Polynomfunktion ersten Grades vor. Dieses hat die allgemeine Funktionsvorschrift

h_{2} (x) = m x + n

. Damit gilt

f_{2} (x) = x + 3 = m x + n = h_{2} (x)

für

m = 0

und

n = 3 .

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Die allgemeine Darstellung ist in dieser Lösung korrekt, allerdings gilt

m = 1

. Ursache für den Fehler ist der in

f

vor

x

„fehlende“ Koeffizient, der fälschlicherweise als Null interpretiert wurde.
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f_{3} (x) = 3 x^{2} + 4 x - 7

Studierendenlösung: Es liegt eine Polynomfunktion zweiten Grades vor, das allgemein mit

h_{3} (x) = a x^{2} + b x + c

dargestellt werden kann. Mit

a = 3, b = 4 und c = 7

gilt dann auch

f_{3} (x) = h_{3} (x)

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Die allgemeine Polynomfunktion ist erneut korrekt bestimmt, jedoch wurde beim letzten Koeffizienten das Vorzeichen vergessen, es gilt nämlich

c = - 7 .

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f_{4} (x) = 2 x^{2} + x^{3} - x + 7

Studierendenlösung: Es liegt eine Polynomfunktion dritten Grades mit

h_{4} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

vor.
Für

a = 2, b = 1, c = - 1 und d = 7

gilt schließlich

h_{4} (x) = f_{4} (x) .

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Die Polynomfunktion

3

. Grades wurde hier erkannt, die allgemeine Form richtig wiedergegeben, die Koeffizienten wurden jedoch vertauscht.
Der Studierende hat scheinbar übersehen, dass die Polynomfunktion nicht nach absteigenden Potenzen sortiert war und hat daher die Koeffizienten

a

und

b

falsch abgelesen. Richtig ist

a = 1

und

b = 2

.
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f_{5} (x) = 3

Studierendenlösung: Diese Aufgabe ist nicht lösbar, da hier keine Polynomfunktion vorliegt.
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In diesem Fall hat der Studierende nicht gewusst, dass

f (x) = a_{0}

ebenfalls eine Polynomfunktion ist und dass der entsprechende Koeffizient

a_{0} = 3

lautet.
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Aufgabe 8
Gegeben ist die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 2

. Berechnen Sie die in der folgenden Skizze des Graphen eingezeichneten Nullstellen

x_{1}

und

x_{2}

Bild 4 Graph von

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 2

mit den beiden Stellen

x_{1}

und

x_{2} .

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Da an diesen Stellen die

x

-Achse geschnitten wird, gilt hier

f (x_{1}) = 0

und

f (x_{2}) = 0

. Somit lassen sich

x_{1}

und

x_{2}

nicht nur ungefähr ablesen, sondern genau berechnen:

\begin{matrix} 0 & = & 2 x^{2} + 3 x - 2 \\ 0 & = & x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 \end{matrix}

Mit Hilfe der

p

q

-Formel ergibt sich:

x_{1,2} = - \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = - \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16}} = - \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}

\Rightarrow x_{1} = 0,5 und x_{2} = - 2

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Aufgabe 9
Gegeben ist die Polynomfunktion

g : ℝ \to ℝ

mit

g (x) = (x - 1) (x + 1,5) x .

Bestimmen Sie die Schnittstellen des Graphen von

g

mit der

x

-Achse möglichst geschickt und erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen.
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Da auch hier für die Nullstellen (also für die Schnittstellen mit der

x

-Achse) gilt

0 = f (x) = (x - 1) (x + 1,5) x

und da ein Produkt genau dann Null ergibt, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, müssen nur die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt werden. Diese ergeben sich einfach durch Auflösen der linearen Gleichungen nach

x .

So folgt:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1$
$x + 1,5 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1,5$
$x_{3} = 0$

Die Nullstellen sind demnach in dieser „faktorisierten“ Darstellungsform der Polynomfunktion direkt ablesbar.
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Aufgabe 10
Für welche

a

ist

x = 2

Nullstelle der Funktion

p : ℝ \to ℝ

mit

p (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{a}

?
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Die Bedingung

p (2) = 0

ergibt für

a

\begin{matrix} 5 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - \frac{1}{a} & = & 0 \\ \Leftrightarrow & 40 - 12 + 6 - \frac{1}{a} & = & 0 \\ \Leftrightarrow & - \frac{1}{a} & = & - 34 \\ \Leftrightarrow & a & = & \frac{1}{34} \end{matrix}

Für eine Nullstelle bei 2 muss gelten

a = \frac{1}{34}

.
Umgekehrt liegt für

a = \frac{1}{34}

dort wirklich eine Nullstelle vor, wie eine Probe oder die Umkehrung der Umformungskette zeigen würde.
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