• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Potenzfunktionen

      Inhalte kompakt

      Definition 1
      Eine proportionale Funktion ist eine Funktion f:ℝ→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a·x,

      wobei a∈ℝ \ {0} eine reelle Zahl ist, die nicht den Wert Null besitzen darf. Die Zahl a nennt man Proportionalitätsfaktor.
      Satz 1: Quotientengleichheit bei proportionalen Funktionen
      Sei f:ℝ→ℝ mit f(x)=a·x und a∈ℝ \ {0} eine proportionale Funktion. Dann gilt:
      • f(x) x =a für alle x∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) x1 = f( x2 ) x2 (=a) für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) f( x2 ) = x1 x2 für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      Definition 2
      Eine antiproportionale Funktion ist eine Funktion f:ℝ \ {0}→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)= a x ,

      wobei a∈ℝ \ {0} eine reelle Zahl ist, die nicht Null sein darf. Aus dem Definitionsbereich muss der Wert x=0 ebenfalls ausgeschlossen werden, da die Funktion sonst nicht definiert ist.
      Satz 2: Produktgleichheit
      Sei f:ℝ \ {0}→ℝ eine antiproportionale Funktion mit
      f(x)= a x .

      Dann gilt
      • f(x)·x=a für alle x∈ℝ \ {0}
      • f( x1 )· x1 =f( x2 )· x2 (=a) für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) f( x2 ) = x2 x1 für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      Definition 3
      Eine elementare Potenzfunktion ist eine Funktion f:ℝ→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a x n ,

      wobei a∈ℝ eine reelle Zahl und n∈ℕ eine natürliche Zahl ist.
      Definition 4
      Eine Potenzfunktion ist eine Funktion f:D→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a xr ,

      wobei a∈ℝ und r∈ℝ reelle Zahlen sind.
      Der maximal mögliche Definitionsbereich D einer Potenzfunktion hängt vom Exponenten r ab:
      • Wenn der Exponent r eine natürliche Zahl ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der reellen Zahlen, also ℝ.
      • Wenn der Exponent r eine negative ganze Zahl ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der reellen Zahlen ohne Null, also ℝ \ {0}.
      • Wenn der Exponent r positiv, reell und nicht-ganzzahlig ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen, also ℝ0 + .
      • Wenn der Exponent r negativ, reell und nicht-ganzzahlig ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der positiven reellen Zahlen, also ℝ+ .
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