• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Potenzfunktionen

      Inhalte mit Erklärungen

      Datum Sep 28, 2026
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      Potenzfunktionen
      8
      1
      Proportionale und antiproportionale Funktionen
      Definition 1
      Eine proportionale Funktion ist eine Funktion f:ℝ→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a·x,

      wobei a∈ℝ \ {0} eine reelle Zahl ist, die nicht den Wert Null besitzen darf. Die Zahl a nennt man Proportionalitätsfaktor.
      Proportionale Funktionen sind daher ein Spezialfall der linearen Funktionen, die Zuordnungsvorschriften der Form f(x)=ax+b mit a,b∈ℝ besitzen. Man erhält sie aus den linearen Funktionen, indem man für a≠0 dann b=0 setzt.
      Mit Hilfe des folgenden Applets können Sie Ausschnitte aus den Graphen verschiedener proportionaler Funktionen betrachten, indem Sie den Parameter a von -5 bis +5 variieren.

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      Wie bei allen linearen Funktionen ist der Graph einer proportionalen Funktion eine Gerade. Im Unterschied zu den Graphen der linearen Funktionen mit b≠0 verläuft der Graph einer proportionalen Funktion stets durch den Ursprung des Koordinatensystems, da f(0)=a·0=0 ist, für jedes a∈ℝ.
      Proportionale Funktionen benötigt man immer dann, wenn man den Zusammenhang zwischen zwei Größen beschreiben möchte, deren Werte immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen.
      Ein anschauliches Beispiel sind Preise von Lebensmitteln, bei denen oft festgesetzt wird, dass der Preis proportional zum Gewicht ist. Man findet in einem Aushang z. B. „ 1 kg Käse kostet 1,20€“. Gemeint ist damit (ungesagt), dass 2 kg 2,40€ kosten, 0,5 kg 0,60€ etc. kosten, dass also zwischen der Käsemenge K in kg und dem Preis P in € die Beziehung
      P(K)=1,2·K

      besteht.
      Eine wichtige Eigenschaft dieser Beziehung ist die Quotientengleichheit: Es gilt
      P(K) K =1,2

      für alle Käsemengen K.
      Satz 1: Quotientengleichheit bei proportionalen Funktionen
      Sei f:ℝ→ℝ mit f(x)=a·x und a∈ℝ \ {0} eine proportionale Funktion. Dann gilt:
      • f(x) x =a für alle x∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) x1 = f( x2 ) x2 (=a) für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) f( x2 ) = x1 x2 für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}

      Video 2
      In diesem Video wird die Quotientengleichheit proportionaler Funktionen erklärt.
      Diese drei Eigenschaften bilden die Basis für die Dreisatzrechnung auf der Basis von proportionalen Funktionen.
      Es gibt aber auch Situationen, in denen eine Größe abnimmt, wenn eine andere zunimmt. Wenn man beispielsweise ein Stück Käse unter einer bestimmten Anzahl Personen gerecht aufteilt, bekommt jeder umso weniger Käse, je mehr Personen es sind.
      Teilt man 200 g Käse auf 2 Personen auf, so erhält jeder 200 2 =100 g Käse. Teilt man 200 g Käse auf 4 Personen auf, so erhält jeder nur noch 50 g und bei 10 Personen sind es nur noch 20 g Käse. Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Personen und der jeweiligen Käsemenge pro Person ist also nicht konstant:
      2 100 ≠ 4 50 ≠ 10 20 .

      Eine andere Größe ist dagegen konstant: Die Gesamtmenge an Käse. Sie entspricht in jedem Fall dem Produkt aus Personenanzahl und Käsemenge pro Person. Dies kann man durch Nachrechnen verifizieren:
      200=2·100=4·50=10·20.

      Bezeichnet K die Käsemenge, die jede Person erhält, und n die Anzahl der Personen, so gilt offenbar
      n·K=200 .

      Solche Zusammenhänge, bei denen eine Größe (hier: die Käsemenge pro Person) abnimmt, wenn eine andere (hier: Personenanzahl) zunimmt, aber das Produkt der beiden Größen konstant bleibt, können durch antiproportionale Funktionen beschrieben werden.
      Definition 2
      Eine antiproportionale Funktion ist eine Funktion f:ℝ \ {0}→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)= a x ,

      wobei a∈ℝ \ {0} eine reelle Zahl ist, die nicht Null sein darf. Aus dem Definitionsbereich muss der Wert x=0 ebenfalls ausgeschlossen werden, da die Funktion sonst nicht definiert ist.
      In Sachsituationen gilt in der Regel x>0.
      Gemäß der Potenzgesetze (siehe hierzu Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen) kann man die Zuordnungsvorschrift auch als
      f(x)=a· x-1

      schreiben.
      Der Graph einer antiproportionalen Funktion ist stets eine Hyperbel, deren charakteristische Form Sie anhand des folgenden Applets für verschiedene Werte von a zwischen -5 und 5 erkennen können:

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      Eigenschaften antiproportionaler Funktionen
      Satz 2: Produktgleichheit
      Sei f:ℝ \ {0}→ℝ eine antiproportionale Funktion mit
      f(x)= a x .

      Dann gilt
      • f(x)·x=a für alle x∈ℝ \ {0}
      • f( x1 )· x1 =f( x2 )· x2 (=a) für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      • f( x1 ) f( x2 ) = x2 x1 für alle x1 , x2 ∈ℝ \ {0}
      Diese Eigenschaften bilden die Basis für die „Dreisatzrechnung bei antiproportionalen Zuordnungen“, die man aus der Schule kennt.
      Elementare Potenzfunktionen
      Definition 3
      Eine elementare Potenzfunktion ist eine Funktion f:ℝ→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a x n ,

      wobei a∈ℝ eine reelle Zahl und n∈ℕ eine natürliche Zahl ist.
      Für n=1 nennt man die Funktion f(x)=a·x auch proportionale Funktion oder Zuordnung; der Graph ist in diesem Fall eine Gerade (siehe oben). Für n=2 ergibt sich eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel darstellt.
      Aufgabe 2
      Ändern Sie die Parameter a ( a liegt zwischen -5 und 5) und n (wobei n die natürlichen Zahlen zwischen 1 und 10 annehmen kann), um sich einen Überblick über die Potenzfunktionen zu verschaffen.

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      Video 3
      In diesem Video werden gemeinsame Punkte der Funktionsgraphen elementarer Potenzfunktionen untersucht.

      Beispiel 1
      Potenzfunktionen mit geraden Exponenten:
      8_lv_funktionen_teil1_bild7.png

      Beispiel 2
      Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten:
      8_lv_funktionen_teil1_bild8.png

      Video 4
      In diesem Video wird das Symmetrieverhalten elementarer Potenzfunktionen untersucht.
      Wurzelfunktionen
      Man kann Potenzfunktionen nun dahingehend erweitern, dass man nicht nur natürliche oder ganze Zahlen, sondern auch rationale Zahlen als Exponent zulässt.
      Wie in der Lerneinheit Potenzen, Wurzeln, Logarithmen beschrieben, sind rationale Zahlen im Exponenten eine andere Schreibweise für Wurzelausdrücke:
      x 1 n =xn ,


      x m n = xm n .

      Betrachten wir die Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f(x)=x für x≥0. Wie in der Lerneinheit Elementare Funktionen erklärt wird, muss man immer den Definitions- und Zielbereich angeben, um eine Funktion zu definieren.
      Aufgabe 3
      Was ist der maximal mögliche Definitionsbereich für die Zuordnungsvorschrift f(x)=x?
      ℝ
      ℝ \ {0}
      ℝ0 +
      ℝ+
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
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      Die Wurzelfunktion ist nur für positive Werte und Null definiert. Daher muss x∈ ℝ0 + gelten, also x aus der Menge der positiven reellen Zahlen (einschließlich Null) stammen.
      [Ausblenden]
      Die Wurzel aus einer reellen Zahl hat stets einen positiven Wert. Solange man keinen Vorfaktor zulässt, ist der Wertebereich dieser Funktion daher ℝ0 + .
      Aufgabe 4
      Betrachten Sie im Applet nun die allgemeinere Funktion f: ℝ0 + → ℝ0 + mit f(x)= x 1 n mit n∈ℕ, 1≤n≤10.
      Wie ändert sich der Funktionswert der Wurzelfunktion an der Stelle x=2 in Abhängigkeit vom Exponenten?

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      Je größer der Wert von n ist, desto kleiner wird der Funktionswert an der Stelle x=2.
      Je kleiner der Exponent 1 n ist, desto größer werden die Funktionswerte an jeder Stelle x.
      Je größer der Exponent 1 n ist, desto größer wird der Funktionswert an der Stelle x=2.
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
      [Ausblenden]
      Man kann anhand des Applets erkennen, dass größere Werte von n zu flacheren Graphen führen. Sie verlaufen allerdings alle durch den Punkt (1;1). Das bedeutet: je kleiner n ist, desto größer sind die Funktionswerte f(x) an jeder Stelle x>1 und somit auch an der Stelle x=2.
      Wird n kleiner, so wird der Exponent 1 n größer. Ein größerer Exponent 1 n führt also zu größeren Funktionswerten an der Stelle x=2.
      [Ausblenden]
      Allgemeine Potenzfunktionen
      Proportionale und antiproportionale Funktionen sowie die bisher behandelten Potenz- und Wurzelfunktionen sind lauter Spezialfälle der allgemeinen Potenzfunktion.

      Video 5
      In diesem Video wird der Begriff der Potenzfunktion im Vergleich zur Exponentialfunktion erklärt.
      Definition 4
      Eine Potenzfunktion ist eine Funktion f:D→ℝ mit einer Zuordnungsvorschrift der Form
      f(x)=a xr ,

      wobei a∈ℝ und r∈ℝ reelle Zahlen sind.
      Der maximal mögliche Definitionsbereich D einer Potenzfunktion hängt vom Exponenten r ab:
      • Wenn der Exponent r eine natürliche Zahl ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der reellen Zahlen, also ℝ.
      • Wenn der Exponent r eine negative ganze Zahl ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der reellen Zahlen ohne Null, also ℝ \ {0}.
      • Wenn der Exponent r positiv, reell und nicht-ganzzahlig ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen, also ℝ0 + .
      • Wenn der Exponent r negativ, reell und nicht-ganzzahlig ist, dann ist der maximale Definitionsbereich einer Potenzfunktion die Menge der positiven reellen Zahlen, also ℝ+ .

      Video 6
      In diesem Video wird der Einfluss des Exponenten auf den Definitionsbereich einer Potenzfunktion erläutert.
      Bemerkungen
      • Spezialfälle für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sind die proportionalen Funktionen.
      • Spezialfälle für Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten sind die antiproportionalen Funktionen.
      Beispielsweise ist die Funktion f:ℝ \ {0}→ℝ mit
      f(x)= 5 x

      eine antiproportionale Funktion; der Funktionswert wird für ein immer größer werdendes x immer kleiner.
      Anhand des folgenden Applets können Sie noch einmal die verschiedenen Fälle betrachten, indem Sie für a und r unterschiedliche Werte zwischen -5 und 5 einstellen:

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