Trigonometrische Funktionen

Info 1info_1
Es gilt für beliebige Winkel $\alpha \hspace{0.5em}\text{und}\hspace{0.5em}k\in \mathbb{Z}$:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (\alpha )}& =\hfill & \sin (\alpha +k·{360}^{\circ }),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\cos (\alpha )}& =\hfill & \cos (\alpha +k·{360}^{\circ }).\hfill \end{array}}$
Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind somit beide periodisch mit Periode ${360}^{\circ }$.

Definition 1definition_1
Fur beliebige Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin (\alpha )$ den Wert der $y$-Koordinate des Punktes $C_{\alpha }$ am Einheitskreis und unter $\cos (\alpha )$ den Wert der $x$-Koordinate des Punktes $C_{\alpha }$ am Einheitskreis.

Satz 1satz_1
Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind beide periodisch mit Periode ${360}^{\circ }$. Es gilt für beliebige Winkel $\alpha \hspace{0.5em}\text{und}\hspace{0.5em}k\in \mathbb{Z}$:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (\alpha )}& =\hfill & \sin (\alpha +k·{360}^{\circ }),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\cos (\alpha )}& =\hfill & \cos (\alpha +k·{360}^{\circ }).\hfill \end{array}}$
Dies folgt unmittelbar aus der geometrischen Definition.

Definition 2definition_2
Für Winkel $x\in ℝ$ im Bogenmaß wird definiert:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\text{Sin}(x)}& :=\hfill & \sin (\frac{x}{\pi }·{180}^{\circ }),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{Cos}(x)}& :=\hfill & \cos (\frac{x}{\pi }·{180}^{\circ }).\hfill \end{array}}$

Satz 2: Periodizität von Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaßsatz_2
Für alle $x\in ℝ$ und $k\in \mathbb{Z}$ gilt:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\sin (x)}& =\hfill & \sin (x+k·2\pi ),\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\cos (x)}& =\hfill & \cos (x+k·2\pi ).\hfill \end{array}}$
Die Periodenlänge beträgt $2\pi$.

Satz 3satz_3
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus besitzen die folgenden Nullstellen:  
Im Gradmaß sind das die folgenden Nullstellen:

Satz 4satz_4
Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt:
${\displaystyle \sin (-x)=-\sin (x).}$
Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, es gilt:
${\displaystyle \cos (-x)=\cos (x).}$

Info 2info_2
Es bestehen folgende Zusammenhänge zwischen Sinus und Cosinus:

Definition 3definition_3
Die Tangensfunktion $f:ℝ \backslash \{k\pi +\frac{\pi }{2}|\hspace{0.5em}k\in \mathbb{Z}\}\to ℝ$ ist definiert als

${\displaystyle \tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.}$

Definition 4definition_4
Seien $a,b,c,d\in ℝ$. Die Funktion

${\displaystyle f:ℝ\to ℝ,x\to a·\sin (b(x+c))+d}$
bezeichnen wir als allgemeine Sinusfunktion.

Info 3: Amplitudeinfo_3
Es wird die Funktion
${\displaystyle g(x)=a·\sin (x)}$
für $a\in ℝ \backslash \{0\}$ betrachtet. Hierbei nennt man $a$ die Amplitude. Die Funktion $g(x)$ entsteht aus der Funktion $f(x)=\sin (x)$ durch Multiplikation mit einem Faktor $a\in ℝ$. Sie hat dieselben Nullstellen wie $\sin (x)$ und schwankt zwischen den Werten $a$ und $-a$ auf der $y$-Achse. Der Graph sieht für $a>0$ so aus: Für $a>1$ wird der Graph von $f(x)$ in $y$-Richtung gestreckt, und für $0<a<1$ wird der Graph von $f(x)$ in $y$-Richtung gestaucht.
Ist der Parameter $a$ negativ, also $a<0$, schwankt die Funktion ebenfalls zwischen $a$ $(<0)$ und $-a$ $(>0)$. Für negative Werte von $a$ wird der Graph (im Vergleich zum entsprechenden positiven Wert von $a$) entlang der $x$-Achse gespiegelt.
Analog zu oben wird für $a<-1$ der Graph von $f(x)$ in $y$-Richtung gestreckt, und für $-1<a<0$ in $y$-Richtung gestaucht.

Info 4: Periodenlängeinfo_4
Die Funktion
${\displaystyle g(x)=\sin (b·x)}$
für einen Wert $b\in ℝ$, $b>0$, entsteht aus der Funktion $f(x)=\sin (x)$, indem das Argument von $f$ mit einem reellen Faktor multipliziert wird. Bei der Betrachtung der Graphen der Funktionen ist zu sehen, dass dies die Periodenlänge der jeweiligen Funktion beeinflusst: Für $b>1$ wird der Graph von $f(x)$ in $x$-Richtung gestaucht.
Für $0<b<1$ wird der Graph von $f(x)$ in $x$-Richtung gestreckt.
Allgemein gilt für Werte $b>0$: die Periodenlänge der Funktion $g(x)=\sin (b·x)$ ist $\frac{2\pi }{b}$, also zum Beispiel, wie in den obigen Abbildungen erkennbar: Die Periodenlänge für $b=2$ beträgt $\frac{2\pi }{2}=\pi$, für $b=\frac{1}{2}$ beträgt sie $\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$. Betrachtet man negative Werte für $b$, wie beispielsweise $b=-2$, so sieht man:
${\displaystyle \sin (b·x)=\sin (-2x)=-\sin (2x).}$
d.h. die Periodenlänge ist wie bei $\sin (2x)$ auch hier $\pi$, aber die Funktion ist an der $x$-Achse gespiegelt.

Info 5: Phasenverschiebunginfo_5
Hier wird die Funktion
${\displaystyle h(x)=\sin (x+c)}$
für Werte $c\in ℝ$ betrachtet. Diese Funktion entsteht aus $f(x)=\sin (x)$ durch Verschiebung des Arguments entlang der $x$-Achse. Für $c>0$ wird der Graph von $f(x)$ in $x$-Richtung nach links verschoben.
Für $c<0$ wird der Graph von $f(x)$ in $x$-Richtung nach rechts verschoben.
Der Parameter $c$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung und verändert damit die sogenannte „Phase“ der Sinusschwingung. Auf die Amplitude und Periodenlänge hat dieser Parameter keinen Einfluss.

Info 6: Verschiebung in y - Richtunginfo_6
Hier werden Funktionen der Form
${\displaystyle g(x)=\sin (x)+d}$
für $d\in ℝ$ betrachtet. Diese Funktionen entstehen aus der Funktion $f(x)=\sin (x)$ durch Addieren des Parameters $d$, wodurch der Graph entlang der $y$-Achse verschoben wird.
Für $d>0$ wird der Graph von $f(x)$ in $y$-Richtung nach oben verschoben.
Für $d<0$ wird der Graph von $f(x)$ in $y$-Richtung nach unten verschoben.
Auf die Amplitude und die Periodenlänge hat dieser Parameter keinen Einfluss.