• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Trigonometrische Funktionen

      Inhalte mit Erklärungen

      Datum Sep 28, 2026
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      Trigonometrische Funktionen
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      In diesem Kapitel werden einige Themen aus dem Kapitel „Trigonometrie am Einheitskreis“ der Lerneinheit Trigonometrie wiederholt.
      Wie in Lerneinheit Trigonometrie ausführlicher erläutert wird, existieren spezielle Bezeichnungen für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:
      Im rechtwinkligen Dreieck wird die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, als Hypotenuse bezeichnet. Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten. Dabei liegt die Ankathete am Winkel α an und die Gegenkathete liegt dem Winkel α gegenüber.
      8_lv_bezeichnungenamdreieck.png
      Sinus, Cosinus und Tangens werden mit diesen Bezeichnungen wie folgt definiert:
      sin(α) = a c = Gegenkathete Hypotenuse , cos(α) = b c = Ankathete Hypotenuse , tan(α) = a b = Gegenkathete Ankathete

      Mit Hilfe dieser Bezeichnungen kann man nun Funktionen definieren. Besonders anschaulich ist es, wenn man die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens anhand des Einheitskreises analysiert. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r=1.
      8_lv_einheitskreis_neu.png
      Bild 8 Cosinus und Sinus am Einheitskreis

      Video 3
      In diesem Video werden die Definition der Sinus-Funktion und der zugehörige Funktionsgraph erläutert sowie graphisch illustriert.

      Video 4
      In diesem Video werden die Definition der Cosinus-Funktion und der zugehörige Funktionsgraph erläutert sowie graphisch illustriert.
      Zunächst werden nur Winkel α zwischen 0∘ und 90∘ betrachtet. Der Punkt C aus der Abbildung hat die Koordinaten C=(x;y). In dem abgebildeten rechtwinkligen Dreieck entspricht die Hypotenuse dem Radius des Einheitskreises und hat damit die Länge r=1. Die Länge der Gegenkathete entspricht der y-Koordinate des Punktes C; analog entspricht die Länge der Ankathete der x-Koordinate. Daher gilt:
      sin(α)= Gegenkathete Hypotenuse = y 1 =y

      und
      cos(α)= Ankathete Hypotenuse = x 1 =x

      Da die Koordinaten des Punktes C mithilfe von α ausgedrückt werden können, wird C auch mit Cα bezeichnet.
      Bisher wurden nur Winkel 0∘ ≤α≤ 90∘ betrachtet. Dafür gilt, dass die Koordinaten von Cα gegeben sind durch
      Cα = (cos(α);sin(α) ).

      Man definiert nun den Sinus und Cosinus für beliebige Winkel α:
      Definition 1
      Fur beliebige Winkel α versteht man unter sin(α) den Wert der y-Koordinate des Punktes Cα am Einheitskreis und unter cos(α) den Wert der x-Koordinate des Punktes Cα am Einheitskreis.
      Bemerkung:
      Den Punkt Cα kann man auch für α> 360∘ und α<0 (Drehung im mathematisch negativen Sinn, also im Uhrzeigersinn) konstruieren.

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      Alle Werte von sin(α) und cos(α) können auf die Werte im Intervall 0∘ ≤α≤ 90∘ zurückgeführt werden. Aufgrund geometrischer Überlegungen gilt:
      α sin(α) cos(α)
      90∘ ≤α≤ 180∘ sin( 180∘ -α) -cos( 180∘ -α)
      180∘ ≤α≤ 270∘ -sin(- 180∘ +α) -cos(- 180∘ +α)
      270∘ ≤α≤ 360∘ -sin( 360∘ -α) cos( 360∘ -α)
      - 90∘ ≤α≤ 0∘ -sin(-α) cos(-α)
      - 180∘ ≤α≤- 90∘ -sin( 180∘ +α) -cos( 180∘ +α)
      - 270∘ ≤α≤- 180∘ sin(- 180∘ -α) -cos(- 180∘ -α)
      - 360∘ ≤α≤- 270∘ sin( 360∘ +α) cos( 360∘ +α)
      Es gilt allgemein:
      Satz 1
      Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind beide periodisch mit Periode 360∘ . Es gilt für beliebige Winkel α  und  k∈ℤ:

      sin(α) = sin(α+k· 360∘ ), cos(α) = cos(α+k· 360∘ ).

      Dies folgt unmittelbar aus der geometrischen Definition.
      weitere Veranschaulichung
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      Die Sinus- und Cosinuswerte sind am Einheitskreis als Koordinaten eines Punktes Cα in Abhängigkeit des Winkels α definiert. Wird der Winkel α, zu dem der Sinus- und Cosinuswert bestimmt werden soll, um weitere 360∘ gedreht, so verändert der Punkt Cα seine Lage auf dem Einheitskreis nicht. Dies gilt auch bei der Drehung des Winkels α um ganzzahlige Vielfache von 360∘ . Wird der Punkt um 360∘ in mathematisch negativer Richtung gedreht, so verändert sich der Sinus - und Cosinuswert ebenfalls nicht!
      8_lv_periodizitaet.png
      Bild 9 Periodizität der Sinus - und Cosinusfunktion
      Es gilt somit für k∈ℤ und 0∘ ≤α≤ 360∘ :
      sin(α) = sin(α+ 360∘ ) = sin(α+2· 360∘ ) = sin(α+3· 360∘ ) = … = sin(α+k· 360∘ )

      und
      cos(α) = cos(α+ 360∘ ) = cos(α+2· 360∘ ) = cos(α+3· 360∘ ) = … = cos(α+k· 360∘ ).


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      Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaß

      8_lv_bogenmass.png
      Bild 10 b(α)= Bogenlänge zu α am Einheitskreis
      In der Lerneinheit Trigonometrie wird erklärt, dass man einen Winkel auch im Bogenmaß angeben kann, d. h. α eindeutig durch die Bogenlänge b(α) angegeben werden kann, wobei b(α) für negative α auch negativ zu nehmen ist und z.B. b( 360∘ + 30∘ )=2π+b( 30∘ ). Es gilt folgende Umrechnung:
      b(α)= α 180∘ ·π

      und für die Umkehrung:
      α(b)= b π · 180∘

      Typische Winkel im Grad - und Bogenmaß
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      Die nachfolgende Tabelle stellt die typischen Winkel im Grad- und Bogenmaß gegenüber.
      Gradmaß - 90∘ 0∘ 30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 180∘ 270∘ 360∘ 720∘
      Bogenmaß - π 2 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 ·π 2·π 4·π

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      Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaß

      Man definiert den Sinus und den Cosinus im Bogenmaß, indem man die bekannten Funktionen sin und cos benutzt und das Bogenmaß zuvor in das Gradmaß umrechnet. Um das mathematisch korrekt zu machen, gibt man den neuen Funktionen für das Bogenmaß zunächst einen anderen Namen, hier werden nun Großbuchstaben am Anfang genutzt:
      Definition 2
      Für Winkel x∈ℝ im Bogenmaß wird definiert:

      Sin (x) := sin( x π · 180∘ ), Cos (x) := cos( x π · 180∘ ).

      Bemerkung
      • Die Funktionen Sinus und Cosinus unterscheiden sich von sin und cos, denn die Variablen haben andere Bedeutungen. Da aber normalerweise klar ist, ob man das Gradmaß oder das Bogenmaß verwendet, werden im Folgenden auch Sinus und Cosinus mit Kleinbuchstaben geschrieben.
      Satz 2: Periodizität von Sinus- und Cosinusfunktionen im Bogenmaß
      Für alle x∈ℝ und k∈ℤ gilt:

      sin(x) = sin(x+k·2π), cos(x) = cos(x+k·2π).

      Die Periodenlänge beträgt 2π.
      Bemerkung:
      Diese Aussage entspricht dem weiter oben angegebenen Satz zur Periodizität von Sinus und Cosinus im Gradmaß, da 2π genau 360∘ entsprechen.

      Video 5
      In diesem Video wird die Periodizität der Sinus-Funktion erläutert sowie graphisch illustriert.

      Video 6
      In diesem Video wird die Periodizität der Cosinus-Funktion erläutert sowie graphisch illustriert.
      Satz 3
      Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus besitzen die folgenden Nullstellen:
      Sinusfunktion: x=k·π,
      Cosinusfunktion: x= π 2 +k·π
      für jedes k∈ℤ.
       
      Im Gradmaß sind das die folgenden Nullstellen:
      Sinusfunktion: x=k· 180∘ ,
      Cosinusfunktion: x= 90∘ +k· 180∘ .
      für jedes k∈ℤ.
      Begründung
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      8_lv_nullstellen_2.png
      Bild 11 Nullstellen der Sinusfunktion (oben) und der Cosinusfunktion (unten)
      Aus der geometrischen Definition der Funktionen am Einheitskreis ergibt sich, dass der Sinus im halboffenen Intervall [0;2π) an den Stellen 0 und π Nullstellen hat. Durch die 2π-Periodizität gibt es dann auch Nullstellen bei 2π und 3π und weiter bei 4π und 5π und so weiter. Weitere Nullstellen bekommt man, indem man jeweils um 2π nach links geht. All diese Nullstellen lassen sich zusammenfassend schreiben als:

      Nullstellen Sinus:  x=k·π  für  k∈ℤ.


      Das Bogenmaß von π entspricht im Gradmaß 180∘ , also sind die Nullstellen im Gradmaß:

      α=k· 180∘ .


      Ebenso ergibt sich aus der geometrischen Definition der Funktionen am Einheitskreis, dass der Cosinus im halboffenen Intervall [0;2π) an den Stellen π 2 und 3π 2 Nullstellen hat. Durch die 2π-Periodizität gibt es dann auch Nullstellen bei π 2 +2π= 5π 2   und   3π 2 +2π= 7π 2 und weiter bei π 2 +4π= 9π 2   und   3π 2 +4π= 11π 2 und so weiter. Weitere Nullstellen bekommt man, indem man jeweils um 2π nach links geht. Das lässt sich so zusammenfassen:

      Nullstellen Cosinus:  x= π 2 +k·π  für  k∈ℤ.


      Im Gradmaß sind die Nullstellen der Cosinusfunktion:

      α= 90∘ +k· 180∘ .


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      Satz 4
      Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, es gilt:
      sin(-x)=-sin(x).

      Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, es gilt:
      cos(-x)=cos(x).


      Video 7
      In diesem Video wird die Punktsymmetrie der Sinusfunktion erläutert sowie graphisch illustriert.

      Video 8
      In diesem Video wird die Achsensymmetrie der Cosinusfunktion erläutert sowie graphisch illustriert.
      Anschauliche Begründungen:
      Punktsymmetrie der Sinusfunktion:

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      Achsensymmetrie der Cosinusfunktion:

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      Die folgenden Abbildungen stellen diesen Zusammenhang noch einmal grafisch dar. Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung O=(0;0).
      8_lv_symmetrie_sinus.png
      Bild 12 Symmetrie bei der Sinusfunktion
      Es gilt also:

      sin(x)=-sin(-x) .

      Der Graph der Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
      8_lv_symmetrie_kosinus.png
      Bild 13 Symmetrie bei der Cosinusfunktion
      Es gilt also:
      cos(x)=cos(-x) .

      Info 2
      Es bestehen folgende Zusammenhänge zwischen Sinus und Cosinus:
      x sin(x) cos(x) x sin(x) cos(x)
      π 2 +x cos(α) -sin(α) π 2 -x cos(α) sin(α)
      π+x -sin(α) -cos(α) π-x sin(α) -cos(α)
      3 2 π+x -cos(α) sin(α) 3 2 π-x -cos(α) -sin(α)
      2π+x sin(α) cos(α) 2π-x -sin(α) cos(α)
      Die Tangensfunktion
      Der Tangens wird an rechtwinkligen Dreiecken ( 0∘ <α< 90∘ ) als Quotient aus Gegenkathete und Ankathete definiert:
      tan(α)= Gegenkathete Ankathete

      Man kann diesen Bruch erweitern und erhält dabei den Quotienten aus Sinus und Cosinus:
      tan(α)= Gegenkathete Ankathete = Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse = sin(α) cos(α)

      Es liegt daher nahe ganz allgemein die Tangensfunktion als Quotient aus der Sinus- und der Cosinusfunktion definieren. Beachten muss man dabei, dass der Nenner nie den Wert Null annehmen darf, sodass die Nullstellen der Cosinusfunktion aus dem Definitionsbereich der Tangensfunktion ausgeschlossen werden müssen:
      Definition 3
      Die Tangensfunktion f:ℝ \ {kπ+ π 2 | k∈ℤ}→ℝ ist definiert als

      tan(x)= sin(x) cos(x) .

      Da Sinus- und Cosinusfunktion 2π-periodisch sind, ist die Tangensfunktion auch 2π-periodisch. Tatsächlich ist die Periode der Tangensfunktion aber noch kleiner, nämlich π. Das lässt sich an folgender Rechnung sehen, für die du die Werte aus der Tabelle in Info 2 nutzen kannst:
      tan(x+π) = sin(x+π) cos(x+π) = -sin(x) -cos(x) = sin(x) cos(x) =tan(x).

      8_lv_tan_2.png
      Bild 14 Der Graph der Tangensfunktion
      Trigonometrische Funktionen mit Parametern
      Definition 4
      Seien a,b,c,d∈ℝ. Die Funktion

      f:ℝ→ℝ,x→a·sin(b(x+c))+d

      bezeichnen wir als allgemeine Sinusfunktion.
      Info 3: Amplitude
      Es wird die Funktion
      g(x)=a·sin(x)

      für a∈ℝ \ {0} betrachtet. Hierbei nennt man a die Amplitude.
      8_lv_schwingung_amplitude.png
      Die Funktion g(x) entsteht aus der Funktion f(x)=sin(x) durch Multiplikation mit einem Faktor a∈ℝ. Sie hat dieselben Nullstellen wie sin(x) und schwankt zwischen den Werten a und -a auf der y-Achse. Der Graph sieht für a>0 so aus:
      8_lv_sin_param.png
      Bild 15 Der Graph der Funktion a·sin(x) für a>0
      Für a>1 wird der Graph von f(x) in y-Richtung gestreckt, und für 0<a<1 wird der Graph von f(x) in y-Richtung gestaucht.
      Ist der Parameter a negativ, also a<0, schwankt die Funktion ebenfalls zwischen a (<0) und -a (>0).
      8_lv_sin_param_min.png
      Bild 16 Der Graph der Funktion a·sin(x) für a<0
      Für negative Werte von a wird der Graph (im Vergleich zum entsprechenden positiven Wert von a) entlang der x-Achse gespiegelt.
      Analog zu oben wird für a<-1 der Graph von f(x) in y-Richtung gestreckt, und für -1<a<0 in y-Richtung gestaucht.
      Info 4: Periodenlänge
      Die Funktion
      g(x)=sin(b·x)

      für einen Wert b∈ℝ, b>0, entsteht aus der Funktion f(x)=sin(x), indem das Argument von f mit einem reellen Faktor multipliziert wird. Bei der Betrachtung der Graphen der Funktionen ist zu sehen, dass dies die Periodenlänge der jeweiligen Funktion beeinflusst:
      8_lv_Periodenlaenge_1.png
      Bild 17 Der Graph der Funktion sin(x)
      8_lv_Periodenlaenge_2.png
      Bild 18 Der Graph der Funktion sin(2x)
      8_lv_Periodenlaenge_3.png
      Bild 19 Der Graph der Funktion sin( x 2 )
      Für b>1 wird der Graph von f(x) in x-Richtung gestaucht.
      Für 0<b<1 wird der Graph von f(x) in x-Richtung gestreckt.
      Allgemein gilt für Werte b>0: die Periodenlänge der Funktion g(x)=sin(b·x) ist 2π b , also zum Beispiel, wie in den obigen Abbildungen erkennbar: Die Periodenlänge für b=2 beträgt 2π 2 =π, für b= 1 2 beträgt sie 2π 1 2 =4π.
      Betrachtet man negative Werte für b, wie beispielsweise b=-2, so sieht man:
      sin(b·x)=sin(-2x)=-sin(2x).

      d.h. die Periodenlänge ist wie bei sin(2x) auch hier π, aber die Funktion ist an der x-Achse gespiegelt.
      Für den oben beschriebenen Sachverhalt gibt es auch eine rechnerische Begründung:
      sin(bx)=sin(bx+2π)=sin(b(x+ 2π b ))

      Die Periodenlänge ist also 2π b , d.h. für b>1 verkleinert sie sich (Stauchung), für b<1 vergrößert sie sich (Streckung).
      Info 5: Phasenverschiebung
      8_lv_schwingung_phase.png
      Hier wird die Funktion
      h(x)=sin(x+c)

      für Werte c∈ℝ betrachtet. Diese Funktion entsteht aus f(x)=sin(x) durch Verschiebung des Arguments entlang der x-Achse. Für c>0 wird der Graph von f(x) in x-Richtung nach links verschoben.
      Für c<0 wird der Graph von f(x) in x-Richtung nach rechts verschoben.
      Der Parameter c verschiebt den Graphen in x-Richtung und verändert damit die sogenannte „Phase“ der Sinusschwingung. Auf die Amplitude und Periodenlänge hat dieser Parameter keinen Einfluss.

      Beispiel 1
      Am Beispiel h(x)=sin(x+2) lässt sich erkennen, dass der Graph der Sinusfunktion im Vergleich zu f(x)=sin(x) um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben ist und die Funktion daher für x=-2 eine Nullstelle hat.
      8_lv_Phasenverschiebung.png
      Bild 20 Der Graph der Funktion sin(x+2)
      Info 6: Verschiebung in y - Richtung
      Hier werden Funktionen der Form
      g(x)=sin(x)+d

      für d∈ℝ betrachtet. Diese Funktionen entstehen aus der Funktion f(x)=sin(x) durch Addieren des Parameters d, wodurch der Graph entlang der y-Achse verschoben wird.
      Für d>0 wird der Graph von f(x) in y-Richtung nach oben verschoben.
      Für d<0 wird der Graph von f(x) in y-Richtung nach unten verschoben.
      8_lv_schwingung_y_richtung.png
      Bild 21 Die Graphen von sin(x) und sin(x)+d für d>0
      Auf die Amplitude und die Periodenlänge hat dieser Parameter keinen Einfluss.

      Beispiel 2
      In der nachfolgenden Abbildung lässt sich anhand der Funktionen sin(x),sin(x)+2,sin(x)-2 erkennen, wie sich der Graph einer Funktion durch die Verschiebung entlang der y-Achse verändert.
      8_lv_Verschiebung_y.png
      Bild 22 Die Graphen der Funktionen sin(x),sin(x)+2,sin(x)-2
      Als Interpretation der allgemeinen Sinusfunktion betrachten wir die folgende Interaktion. Diese Interaktion stellt eine allgemeine Sinusfunktion der Form
      y=a·sin(b(x+c))+d

      dar und Sie haben bei dieser Interaktion die Möglichkeit, die Parameter a, b, c und d zu verändern. Die grafische Änderung wird unmittelbar am Graphen angezeigt.
      Die allgemeine Sinusfunktion y=a·sin(b(x+c))+d im Vergleich zu sin(x):

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