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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Umgang mit Funktionen
  
  Inhalte mit Erklärungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_umgangfkt_
  
  Umgang mit Funktionen
  
  8
  
  6
  
  bereich_3
  Wiederholung: Funktionen
  Funktionen werden definiert durch ihre Definitionsmenge $D$ , ihre Zielmenge $Z$ und ihre Zuordnungsvorschrift.
  
  Definition 1definition_1
  Gegeben sei eine Menge $D$ , genannt Definitionsmenge, und eine Menge $Z$ , genannt Zielmenge. Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x \in D$ genau ein Element $f (x) \in Z$ zu. Man schreibt:
  
  $f : D \to Z, x \mapsto f (x)$
  
  Als Graph einer Funktion bezeichnet man die Menge aller Paare $(x, f (x))$ mit $x \in D$ . Um sich den Verlauf einer Funktion zu veranschaulichen, ist es häufig hilfreich, einen Ausschnitt aus dem Funktionsgraphen zu zeichnen. In der Schule wird meistens ein Ausschnitt aus dem Graphen bereits als „der“ Funktionsgraph bezeichnet, obwohl es nur ein Ausschnitt ist.
  Weitere Definitionen und Erklärungen zu den Grundlagen von Funktionen finden Sie in der Lerneinheit Elementare Funktionen.
  
  Definition 2definition_2
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Als Wertemenge $f (D)$ von $f$ bezeichnen wir die Menge aller $y$ aus $Z$ , die als Funktionswert angenommen werden:
  
  $f (D) : = {y \in Z | es gibt ein x \in D mit f (x) = y} .$
  
  Definition 3definition_3
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Sei $x \in D$ . Dann nennt man $y = f (x) \in Z$ das Bild von $x$ . Umgekehrt sei $y \in f (D)$ mit $y = f (x)$ für ein $x \in D$ . Dann nennt man $x$ das Urbild von $y$ .
  
  Die Wertemenge ist eine Teilmenge der Zielmenge: Er besteht aus allen Funktionswerten, die die Funktion in der Zielmenge tatsächlich annimmt.
  Für einen Funktionsgraphen einer Funktion $f : ℝ \to ℝ$ gilt, dass jede Parallele zur $y$ -Achse den Graphen in genau einem Punkt schneidet. Dies können Sie sich im nachfolgenden Applet durch Variation der $x$ -Koordinate des Punktes $P$ , der auf dem Graphen der Funktion $f (x) = x^{2}$ liegt, veranschaulichen:
  
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  Applet herunterladen
  
  Achtung: Die Tatsache, dass Werte aus der Wertemenge (Bilder) einer Funktion mindestens ein Urbild besitzen, schließt folgende Möglichkeiten ein: Es kann genau ein Urbild geben oder es können mehrere Urbilder auftreten.
  Beispiel: Bei der Funktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2}$ besitzt der Funktionswert $f (x) = 4$ zwei Urbilder: $x = 2$ und $x = - 2$ , da sowohl $f (2) = 2^{2} = 4$ als auch $f (- 2) = (- 2)^{2} = 4$ gilt.
  Nun betrachten wir diejenigen Funktionen, deren Zuordnung umkehrbar ist, d. h. bei denen es zu jedem Bild genau ein Urbild gibt.
  Umkehrfunktionen
  
  Definition 4definition_4
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Dann heißt die Funktion $f$ umkehrbar, wenn es zu jedem Funktionswert $y \in Z$ genau ein Urbild gibt, d.h. genau ein $x \in D$ mit $f (x) = y$ .
  
  Bemerkung
  
  Bei einer umkehrbaren Funktion $f : D \to Z$ sind Werte- und Zielmenge gleich, d.h. $Z = f (D)$ .
  
  Für eine Funktion $f : ℝ \to ℝ$ bedeutet das, dass jede Parallele zur $x$ -Achse den Graphen genau einmal schneiden muss.
  
  Beispiel 1beispiel_1
  Die Funktion
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 4 x - 3$
  ist umkehrbar, denn jeder Wert $y$ aus der Zielmenge $ℝ$ besitzt genau ein Urbild:
  $y = 4 x - 3 ⟺ x = \frac{y + 3}{4} .$
  Variieren Sie zur Veranschaulichung dieser Tatsache im folgenden Applet, das den Graphen der Funktion $y = 4 x - 3$ zeigt, den Wert von $y$ .
  
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  Beispiel 2beispiel_2
  Die Funktion
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2}$
  ist nicht umkehrbar. Es würde eigentlich schon reichen zu sehen, dass es einen Wert in der Zielmenge gibt, der kein/ mehr als ein Urbild hat. Aber wir wollten uns die Situation für alle Werte in der Zielmenge anschauen. Denn nun können wir schauen, ob wir Definitions- und Zielmenge so einschränken können, dass wir eine umkehrbare Funktion bekommen. Jeder Wert $y > 0$ besitzt zwei Urbilder:
  $y = x^{2} ⟺ x = \pm \sqrt{y} .$
  Zu allen Werten $y < 0$ existiert kein Urbild, für $y = 0$ gibt es genau ein Urbild $x = 0$ . Dies können Sie durch Variation von $y$ im nachfolgenden Applet, das den Graphen der Funktion $f (x) = x^{2}$ zeigt, erkennen.
  
  var parameters = { "width":785, "height":465, "showToolBar":false, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showResetIcon":true, "enableLabelDrags":false, "enableShiftDragZoom":true, "enableRightClick":false, "showToolBarHelp":false, "errorDialogsActive":true, "useBrowserForJS":false, "ggbBase64":"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" } var _8_lv_hoehereFunktionFkt02 = new GGBApplet('5.', parameters, ggb_views); _8_lv_hoehereFunktionFkt02.setHTML5Codebase("https://www.geogebra.org/apps/5.0.543.0/web3d"); _8_lv_hoehereFunktionFkt02.inject("_8_lv_hoehereFunktionFkt02_container", 'html5');
  
  Applet herunterladen
  
  Die Funktion
  $g : ℝ_{0}^{+} \to ℝ_{0}^{+}$ mit $g (x) = x^{2},$
  die also als Definitions- und Zielmenge nur die nichtnegativen reellen Zahlen besitzt, ist dagegen umkehrbar. Jeder Wert $y \in ℝ_{0}^{+}$ besitzt genau ein Urbild:
  $y = x^{2} ⟺ x = \sqrt{y} .$
  Häufig kann man Definitions- und Zielmenge so einschränken, dass eine umkehrbare Funktion entsteht. Durch diese Einschränkung erhält man eine neue Funktion.
  
  Bild 1 Die Funktion $g : ℝ_{0}^{+} \to ℝ_{0}^{+}$ mit $g (x) = x^{2}$
  
  Bei der Umkehrfunktion spielen mehrere Aspekte eine Rolle. Die Umkehrung der Zuordnung, das Lösen von Gleichungen und die Verkettung.
  
  Definition 5definition_5
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine umkehrbare Funktion. Dann heißt die Funktion $f^{- 1} : Z \to D$ , die jedem $y \in Z$ ihr Urbild $x \in D$ unter $f$ zuordnet, Umkehrfunktion von $f$ .
  
  Bemerkungen
  
  Die Bezeichnung $f^{- 1} (y)$ bedeutet nicht „mit $- 1$ potenzieren“, also nicht $\frac{1}{f (y)}$ , sondern man bezeichnet damit die Umkehrfunktion von $f$ .
  
  Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist $Z$ , also die Zielmenge der ursprünglichen Funktion. Man schreibt auch $D_{f^{-} 1} = Z = f (D_{f})$ .
  
  Satz 1satz_1
  Wenn $f : D \to Z$ eine umkehrbare Funktion ist, dann gilt für alle $x$ aus der Definitionsmenge $D$ der Funktion $f$
  $f^{- 1} (f (x)) = x$
  und für alle $y$ aus der Zielmenge $Z$ von $f$
  $f (f^{- 1} (y)) = y .$
  
  Anschaulich kann man sich $f$ als eine Maschine vorstellen, die $x$ in $f (x)$ überführt. Dann ist $f^{- 1}$ eine Maschine, die diesen Prozess rückgängig macht. \[x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{f^{-1}} x\] \[y \xrightarrow{f^{-1}} f^{-1}(y) \xrightarrow{f} y\]
  
  Beispiel 3beispiel_3
  Wir betrachten die Funktion
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 4 .$
  Für gegebenes $y \in ℝ$ besitzt die Gleichung $y = 3 x - 4$ genau eine Lösung:
  
  $x = \frac{1}{3} (y + 4) .$
  Also erhält man die Umkehrfunktion:
  
  $f^{- 1} (y) = \frac{1}{3} (y + 4)$
  Um diese Funktion ins gleiche Koordinatensystem einzuzeichnen, geht man dazu über, die Variable der Umkehrfunktion mit $x$ statt $y$ zu bezeichnen und erhält die Umkehrfunktion
  $f^{- 1} : ℝ \to ℝ$ mit $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} (x + 4) .$
  
  Bild 2 Die Funktion $f (x) = 3 x - 4$ (rot) und ihre Umkehrfunktion $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} (x + 4)$ (blau)
  
  Beispiel 4beispiel_4
  Betrachten wir die Funktion:
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{7}{4} .$
  
  Bild 3 Die Parabel der Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$
  
  Der Scheitelpunkt der Parabel ist $S = (- \frac{1}{2}, - \frac{7}{4})$ . Multipliziert man die Funktion aus, so erhält man $f (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$ . Anschaulich sieht man, dass man $f$ nicht umkehren kann:
  Für $y < - \frac{7}{4}$ gibt es keine Urbilder.
  Für $y = - \frac{7}{4}$ gibt es genau ein Urbild.
  Für $y > - \frac{7}{4}$ gibt es zwei Urbilder.
  
  Diese anschaulichen Aussagen kann man rechnerisch verifizieren.
  Um die Umkehrfunktion zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung $y = 3 x^{2} + 3 x - 1$ nach $x$ auf:
  $\begin{matrix} y & = & 3 x^{2} + 3 x - 1 & | - y \\ 0 & = & 3 x^{2} + 3 x - (1 + y) & | : 3 \\ 0 & = & x^{2} + x - \frac{1 + y}{3} & | p-q-Formel anwenden \\ x_{1,2} & = & - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{3} (y + \frac{7}{4})} \end{matrix}$
  
  Anhand dieser Lösung kann man die drei obigen anschaulichen Beobachtungen sehen:
  
  Für $y < - \frac{7}{4}$ existiert keine Lösung, da der Term unter der Wurzel dann negativ wird.
  
  Für $y = - \frac{7}{4}$ existiert genau eine Lösungen $x = - \frac{1}{2}$ .
  
  Für $y > - \frac{7}{4}$ existieren immer zwei Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
  
  Teilt man die Definitionsmenge am Scheitelpunkt der Parabel in zwei Teile $D_{1} = {x \in ℝ | x \geq - \frac{1}{2}}$ und $D_{2} = {x \in ℝ | x \leq - \frac{1}{2}}$ , so taucht in jedem der beiden Teile der Funktion jeder Funktionswert $y$ nur einmal auf. Man erhält so zwei umkehrbare Funktionen.
  Deren Definitionsmengen und die Zuordnungsvorschriften werden nun genauer angegeben.
  Die Lösung $x_{1}$ (mit dem Pluszeichen vor der Wurzel) liegt in $D_{1}$ , die Lösung $x_{2}$ (mit dem Minuszeichen vor der Wurzel) liegt in $D_{2}$ . Schränkt man die Definitionsmenge $D_{f}$ auf entweder $D_{1}$ oder $D_{2}$ und zusätzlich die Zielmenge auf $Z = {y \in ℝ | y \geq - \frac{7}{4}}$ ein, entstehen also zwei neue, umkehrbare Funktionen:
  $f_{1} : D_{1} \to Z, f_{1} (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$
  und
  $f_{2} : D_{2} \to Z, f_{2} (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$
  mit den Umkehrfunktionen
  $f_{1}^{- 1} : Z \to D_{1}, f_{1}^{- 1} (y) = - \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{3} (y + \frac{7}{4})}$
  und
  $f_{2}^{- 1} : Z \to D_{2}, f_{2}^{- 1} (y) = - \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{3} (y + \frac{7}{4})} .$
  Um die Graphen dieser Funktionen in das gleiche Koordinatensystem einzeichnen zu können wie $f$ , benennt man abschließend die Variable $y$ in $x$ um und schreibt:
  $f_{1}^{- 1} (x) = - \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{3} (x + \frac{7}{4})}$
  und
  $f_{2}^{- 1} (x) = - \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{3} (x + \frac{7}{4})} .$
  
  Bild 4 Die Funktionen (rot) $f_{1} (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$ , $x > - \frac{1}{2}$ , und $f_{2} (x) = 3 x^{2} + 3 x - 1$ , $x < - \frac{1}{2}$ , mit ihren Umkehrfunktionen (blau)
  
  Anschaulich entsteht der Graph der Umkehrfunktion von $f$ , indem man den Graphen der Funktion $f$ an der ersten Winkelhalbierenden $(y = x)$ spiegelt.
  
  Wahrscheinlich sind dir schon weitere Umkehrfunktionen begegnet: Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion der $e$ -Funktion $e^{x}$ . Und die Umkehrfunktionen $\arcsin, \arccos$ und $\arctan$ von $\sin, \cos$ und $\tan$ hast du benutzt, um Winkel in Dreiecken zu berechnen.
  Operationen mit Funktionen
  
  Definition 6definition_6
  Sei $D \subset ℝ$ . Seien $f : D \to ℝ$ und $g : D \to ℝ$ Funktionen mit der gleichen Definitionsmenge. Dann kann man die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Funktionen definieren durch:
  
  $\begin{matrix} f + g : D \to ℝ, & x \mapsto (f + g) (x) : = f (x) + g (x), \\ f \cdot g : D \to ℝ, & x \mapsto (f \cdot g) (x) : = f (x) \cdot g (x), \\ f - g : D \to ℝ, & x \mapsto (f - g) (x) : = f (x) - g (x) . \end{matrix}$
  Gilt $g (x) \neq 0$ für alle $x \in D$ , dann kann man auch den Quotienten definieren als:
  
  $\frac{f}{g} : D \to ℝ, x \mapsto (\frac{f}{g}) (x) : = \frac{f (x)}{g (x)} .$
  
  Beispiel 5beispiel_5
  Gegeben seien die beiden Funktionen:
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x - 3$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = 2 x$ . Man bildet die Summen- und Produktfunktion, die ebenfalls als Definitions- und Zielmenge $ℝ$ besitzen:
  $(f + g) (x) = f (x) + g (x) = x - 3 + 2 x = 3 x - 3$
  und
  $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x) = (x - 3) 2 x = 2 x^{2} - 6 x .$
  
  Beispiel 6beispiel_6
  Gegeben seien die beiden Funktionen:
  $f : {x \in ℝ | x > - \frac{1}{3}} \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x^{2} + 4$ und $g : {x \in ℝ | x > - \frac{1}{3}} \to ℝ$ mit $g (x) = 3 x + 1$ . Sie besitzen also die gemeinsamen Definitionsmenge
  $D = {x \in ℝ | x > - \frac{1}{3}} .$
  Die Quotientenbildung ist möglich, da $g (x) \neq 0$ für alle Argumente $x$ aus $D$ gilt. Es ergibt sich folgende neue Funktion (Quotient) mit der Definitionsmenge $D$ :
  $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{3 x^{2} + 4}{3 x + 1} .$
  
  Beispiel 7beispiel_7
  Ist eine der beiden Funktionen eine konstante Funktion, erhält man einen einfachen Spezialfall.
  Gegeben seien die beiden Funktionen:
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2} - 1,5$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = 2$ . Bildet man die Summen- und Produktfunktion, die ebenfalls als Definitions- und Zielmenge $ℝ$ besitzen, so erhält man:
  $(f + g) (x) = f (x) + g (x) = x^{2} - 1,5 + 2 = x^{2} + 0,5$
  und
  
  $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x) = (x^{2} - 1,5) \cdot 2 = 2 x^{2} - 3 .$
  
  Vergleicht man die dazugehörigen Graphen, so stellt man fest, dass die Addition einer Konstanten (hier: $2$ ) einen Funktionsgraphen entlang der $y$ -Achse verschiebt, während die Multiplikation mit einer Konstanten zu einer Streckung oder Stauchung führt.
  
  Man verkettet zwei gegebene Funktionen $f$ und $g$ zu einer neuen Funktion, indem man die Funktionswerte $f (x)$ als Argument für die Funktion $g$ verwendet und $g (f (x))$ bildet. Die Funktionen $f$ und $g$ werden nacheinander ausgeführt. Das setzt voraus, dass man die Funktionswerte von $f$ überhaupt in $g$ einsetzen darf.
  
  Definition 7definition_7
  Seien $D_{f}, D_{g} \subset ℝ$ , seien $f : D_{f} \to Z_{f}, g : D_{g} \to Z_{g}$ Funktionen. Die Wertemenge $f (D_{f})$ der Funktion $f$ sei in der Definitionsmenge $D_{g}$ der Funktion $g$ enthalten. Dann kann man $g$ nach $f$ ausführen und erhält die Verkettung von $f$ und $g$ (sprich $g$ verknüpft mit $f$ ). Man schreibt dafür:
  $\begin{matrix} (g \circ f) : D_{f} \to Z_{g}, & (g \circ f) (x) = g (f (x)) . \end{matrix}$
  Es sind auch Verkettungen von mehr als zwei Funktionen möglich.
  
  Zu beachten ist dabei, dass man bei einer Verknüpfung $g \circ f$ zuerst die Abbildung mit $f$ durchführt und anschließend mit $g$ abbildet, d. h. man setzt die Funktionswerte von $f$ als Argumente von $g$ ein und erhält so $g \circ f .$ Insofern müssen Verkettungen in Bezug auf die Reihenfolge der Abbildungsschritte von rechts nach links gelesen werden.
  
  Für $g \circ f$ werden neben „ $g$ verknüpft mit $f$ “ üblicherweise noch die Bezeichnungen „ $g$ Kringel $f$ “ und „ $g$ komponiert mit $f$ “ verwendet. Um die Reihenfolge der einzelnen Abbildungsschritte noch einmal zu unterstreichen, werden manchmal auch die Sprechweisen „ $g$ nach $f$ “ oder „erst $f$ , dann $g$ “ eingesetzt.
  Man kann sich das Hintereinanderausführen auch als Kombination von 2 Maschinen vorstellen: \[x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x))\]
  
  Beispiel 8beispiel_8
  Man betrachte die Funktionen
  $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2} + 3 und g : ℝ_{0} + \to ℝ, g (x) = \sqrt{x} + 1 .$
  Hier ist also $D_{f} = ℝ$ und $D_{g} = ℝ_{0} +$ .
  
  Bild 5 $f (x) = x^{2} + 3$ (links), $g (x) = \sqrt{x} + 1$ (rechts)
  
  Die Wertemenge von $f$ ist $f (D_{f}) = {y | y \geq 3} .$ Da das eine Teilmenge von $D_{g} = ℝ_{0} +$ ist, ist eine Verkettung möglich und ergibt
  $(g \circ f) : D_{f} \to Z_{g},$
  mit
  $\begin{matrix} (g \circ f) (x) & = & g (f (x)) \\ = & g (x^{2} + 3) \\ = & \sqrt{x^{2} + 3} + 1 . \end{matrix}$
  
  Die Wertemenge von $g$ ist $f (D_{g}) = {y | y \geq 1} .$ Da das eine Teilmenge von $D_{f} = ℝ$ ist, ist eine Verkettung möglich und ergibt
  $(f \circ g) : D_{g} \to Z_{f},$
  mit
  $\begin{matrix} (f \circ g) (x) & = & f (g (x)) \\ = & f (\sqrt{x} + 1) \\ = & (\sqrt{x} + 1)^{2} + 3 \\ = & x + 2 \sqrt{x} + 4 . \end{matrix}$
  
  Bild 6 Die Verkettung der Funktionen $f$ und $g$ : Links $g \circ f$ , rechts $f \circ g$
  
  Bemerkung: Es ist zu beachten, dass $(g \circ f)$ und $(f \circ g)$ im Allgemeinen unterschiedliche Funktionen sind (siehe vorangehendes Beispiel).
  
  Beispiel 9beispiel_9
  Als Beispiel für die Verkettung mehrerer Funktionen nehme man $f \circ (g \circ h)$ mit
  $\begin{matrix} f : & ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2}, \\ g : & ℝ \to ℝ, g (x) = 3 x \\ und & h : & ℝ \to ℝ, h (x) = x - 5 . \end{matrix}$
  Da die Definitions - und Zielmengen aller Funktionen überstimmen, sind alle beliebigen Verkettungen möglich und man kann zunächst $h$ in $g$ einsetzen. Dabei erhält man
  $g \circ h : ℝ \to ℝ, (g \circ h) (x) = 3 \cdot (x - 5) .$
  Für die letzte Verkettung von $f$ mit $g \circ h$ setzt man noch $g \circ h$ in $f$ ein. Dies ergibt letztlich
  $f \circ (g \circ h) : ℝ \to ℝ$
  mit
  $(f (g \circ h)) (x) = f (3 \cdot (x - 5)) = {(3 \cdot (x - 5))}^{2} .$
  
  Allgemein lässt sich darüber hinaus zeigen, dass bezüglich Verkettungen das Assoziativgesetz $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ für beliebige Funktionen $f, g,$ und $h$ gilt. Wir wollen die Gültigkeit dieser Aussage zwar hier nicht allgemein beweisen, aber zumindest anhand unserer obigen drei Funktionen prüfen:
  
  So gilt $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h,$ denn einerseits ist
  $f \circ (g \circ h) : ℝ \to ℝ, (f \circ (g \circ h)) (x) = (3 \cdot (x - 5 {))}^{2} .$
  Andererseits ergibt sich $(f \circ g) : ℝ \to ℝ, (f \circ g) (x) = (3 x)^{2},$ da zunächst $g (x) = 3 x$ in $f$ eingesetzt wird. Da letztlich noch $h (x) = x - 5$ in $f \circ g$ eingesetzt werden muss, ist damit insgesamt
  $(f \circ g) \circ h : ℝ \to ℝ, ((f \circ g) \circ h) (x) = (3 \cdot (x - 5 {))}^{2}$
  und somit für diesen Fall gezeigt, dass $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ gilt. Wir können also die Klammern auch weglassen, schließlich ist $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h .$
  
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