Umgang mit Funktionen

Hinführung

bereich_2 Die bisher betrachteten Funktionsvorschriften können dazu dienen, reale Zusammenhänge zwischen zwei Größen mathematisch zu beschreiben. Ein Beispiel aus der Wirtschaft ist die Nachfragefunktion. Diese gibt zu einem gegeben Preis ($p$) für ein Gut an, welche Menge ($N$) davon nachgefragt wird. Der Preis stellt also das Argument, und die Nachfrage den Wert der Funktion dar. Die hier angenommene Nachfragefunktion lautet $N(p)=-10·p+100.$ Daraus ergeben sich die Wertpaare

$p$	2,00	2,50	3,00	3,50	4,00
$N$	80	75	70	65	60

Mit Hilfe der Funktion $N(p)$ kann diese Tabelle für gegebene Preise beliebig ergänzt werden. Aus Kapazitätsgründen ist in der Praxis allerdings auch die Fragestellung relevant, welcher Preis verlangt werden muss damit eine gewisse Menge nachgefragt wird. Eine mögliche Lösung wäre es, in der obigen Tabelle nachzusehen und bei einer gegebenen Nachfrage den entsprechenden Preis abzulesen. Welche Herangehensweisen gibt es aber, wenn die gesuchte Nachfragemenge nicht in der Tabelle aufgeführt ist? Möchte man den Preis zu jeder beliebigen Nachfrage berechnen, so benötigt man eine Funktion, die die Nachfrage als Argument und den Preis als Wert hat, aber bei der die Wertpaare von Preis und Nachfrage die gleichen sind wie bei der gegebenen Nachfragefunktion. Mit anderen Worten die obige Tabelle muss genauso gelten. Eine solche Funktion kehrt praktisch die Nachfragefunktion um. Diese Funktion erhält man hier, indem man die Nachfragefunktion als Gleichung betrachtet $N=-10·p+100$ und diese nach dem Argument $p$ auflöst. So erhält man $p(N)=-\frac{1}{10}·N+10$ als die gesuchte Funktion. Zumindest für die obige Tabelle lässt sich schnell prüfen, dass die Funktion $p(N)$ für alle Einträge gilt. Man spricht bei diesem Vorgehen von der Umkehrung einer Funktion, in diesem Beispiel der Nachfragefunktion. Im ersten Teil von „Inhalte mit Erklärungen“  wird auf die Umkehrung von Funktionen, wann diese möglich ist und welche Bedingungen hierfür erfüllt sein müssen näher eingegangen. Im zweiten Teil von „Inhalte mit Erklärungen“  wird gezeigt, wie das Spektrum der bisher betrachteten Funktionen erweitert werden kann, indem man zwei Funktionen, welche nicht vom gleichen Typ sein müssen, miteinander kombiniert. Funktionen werden dabei als Objekte betrachtet, mit denen man operieren kann. Eine gute Möglichkeit, sich dies vorzustellen ist es, Funktionen der Art $f:D\to Z$ als Maschinen zu betrachten, die aus jedem Input $x\in D$ einen Output $f(x)\in Z$ herstellen.

In dieser Lehreinheit lernen Sie, dass man Funktionen ...
... umkehren kann:	Umkehrfunktion $f^{-1}$
... addieren und subtrahieren kann:	$f+g$, $f-g$
... multiplizieren und dividieren kann:	$f·g$, $\frac{f}{g}$
... hintereinander ausführen kann:	$f\circ g$

Dabei ist es wichtig zwischen der Funktion $f$ und einem speziellen Funktionswert $f(x)$ zu unterscheiden.