Abschnitt: Aufgaben | Umgang mit Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Umgang mit Funktionen
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_umgangfkt_
  
  Umgang mit Funktionen
  
  8
  
  6
  
  bereich_4 Umkehrfunktionen
  
  Aufgabe 1aufgabe_1
  Entscheiden Sie für jede der nachfolgenden Funktionen, ob sie umkehrbar sind, und wenn nicht, ob sie durch eine Einschränkung von Definitions- und/ oder Zielmenge zu einer umkehrbaren Funktion gemacht werden können.
  
  a) $f (x) = x + 8$
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  Zur Berechnung der Umkehrfunktion wird die gegebene Funktion nach $x$ aufgelöst:
  $\begin{matrix} y & = & x + 8 & | - 8 \\ \Leftrightarrow & y - 8 & = & x \end{matrix}$
  Die Variable der Umkehrfunktion soll wieder $x$ sein, daher werden $x$ und $y$ vertauscht und es bezeichnet $f^{- 1} (x) = x - 8$ die Umkehrfunktion von $f$ . Für die Definitionsmengen gelten keine Einschränkungen, also $D_{f} = W_{f^{- 1}} = ℝ$ und $W_{f} = D_{f^{- 1}} = ℝ$ .
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  b) $f (x) = x^{2} - 1$
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  Die Funktion kann z.B. auf der Definitionsmenge $D_{f} = [0; \infty)$ umgekehrt werden. Es wird zunächst wieder nach $x$ aufgelöst:
  $\begin{matrix} y & = & x^{2} - 1 & | + 1 \\ \Leftrightarrow & y + 1 & = & x^{2} & | \sqrt{} \\ \Leftrightarrow & \sqrt{y + 1} & = & x \end{matrix}$
  Die Umkehrfunktion ist also $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1}$ . Für die Definitionsmenge der Umkehrfunktion und damit die Wertemenge von $f$ ist $W_{f} = D_{f^{- 1}} = [- 1; \infty)$ , die Wertemenge von $f^{- 1}$ entspricht $D_{f}$ , also $D_{f} = W_{f^{- 1}} = [0; \infty)$ .
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  c) $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$
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  Aufgrund der Wurzel ist die Funktion auf der Definitionsmenge $D_{f} = [0; \infty)$ beschränkt. Hier gilt:
  $\begin{matrix} y & = & \frac{\sqrt{x}}{2} & | \cdot 2 \\ \Leftrightarrow & 2 y & = & \sqrt{x} & | quadrieren \\ \Leftrightarrow & 4 y^{2} & = & x \end{matrix}$
  Die Umkehrfunktion ist also $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ . Für die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist damit die Wertemenge von $f$ , also $W_{f} = D_{f^{- 1}} = [0; \infty)$ , und ebenso $D_{f} = W_{f^{- 1}} = [0; \infty)$ .
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  d) $f (x) = 4 x^{2} - 40 x + \frac{199}{2}$
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  Zur Berechnung der Umkehrfunktion wird die gegebene Funktion nach $x$ aufgelöst:
  $\begin{matrix} y & = & 4 x^{2} - 40 x + \frac{199}{2} \\ \Leftrightarrow & y & = & 4 x^{2} - 40 x + 100 - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & y & = & 4 (x^{2} - 10 x + 25) - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & y & = & 4 (x - 5)^{2} - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & y + \frac{1}{2} & = & 4 (x - 5)^{2} \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{4} (y + \frac{1}{2}) & = & (x - 5)^{2} \\ \Leftrightarrow & \sqrt{\frac{1}{4} (y + \frac{1}{2})} & = & x - 5 \\ \Leftrightarrow & \sqrt{\frac{1}{4} (y + \frac{1}{2})} + 5 & = & x \end{matrix}$
  So finden wir die Umkehrfunktion $f^{- 1} (x) = \sqrt{\frac{1}{4} (x + \frac{1}{2})} + 5$ . Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion und damit die Wertemenge von $f$ ist damit $W_{f} = D_{f^{- 1}} = [- \frac{1}{2}; \infty)$ , da unter der Wurzel kein negativer Wert stehen darf. Die Defintionsmenge von $f$ , für die die Umkehrfunktion gefunden werden kann, entspricht der Wertemenge von $f^{- 1}$ und ist damit $D_{f} = W_{f^{- 1}} = [5; \infty)$ .
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  Verkettung von Funktionen
  
  Aufgabe 2aufgabe_2
  Unter welchen Voraussetzungen kann man zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ addieren?
  Auf was muss bei der Division $\frac{f}{g}$ geachtet werden?
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  Um Funktionen addieren und dividieren zu können, müssen diese eine gemeinsame Definitionsmenge haben. Für die Division muss zudem bei der Nennerfunktion $g (x) \neq 0$ für alle $x$ aus der Definitionsmenge gelten.
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  Aufgabe 3aufgabe_3
  Betrachten Sie die folgenden beiden Funktionen:
  $\begin{matrix} f : & ℝ \to ℝ, & f (x) = x^{2} - 2 \\ g : & [- 1; \infty) \to ℝ_{0}^{+}, & g (x) = \sqrt{x + 1} \end{matrix}$
  Kann man die folgenden Verkettungen bilden? Wenn ja, geben Sie die jeweiligen Definitions- und Wertemengen an.
  
  a) $f \circ g$
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  Für die Verknüpfung $f \circ g$ gilt:
  $\begin{matrix} (f \circ g) (x) & = & f (g (x)) \\ = & f (\sqrt{x + 1}) \\ = & (\sqrt{x + 1})^{2} - 2 \\ = & x + 1 - 2 \\ = & x - 1 \end{matrix}$
  Daher hat $f \circ g$ die Definitionsmenge $D_{f \circ g} = [- 1; \infty)$ und die Wertemenge $W_{f \circ g} = [- 2; \infty)$ .
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  b) $g \circ f$
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  Nein, denn $f (D_{f}) = [- 2; \infty)$ , und das ist keine Teilmenge von $D_{g} = [- 1; \infty)$ .
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