Abschnitt: Inhalte kompakt | Umgang mit Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Umgang mit Funktionen
  
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  Definition 1definition_1
  Gegeben sei eine Menge $D$ , genannt Definitionsmenge, und eine Menge $Z$ , genannt Zielmenge. Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x \in D$ genau ein Element $f (x) \in Z$ zu. Man schreibt:
  
  $f : D \to Z, x \mapsto f (x)$
  
  Definition 2definition_2
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Als Wertemenge $f (D)$ von $f$ bezeichnen wir die Menge aller $y$ aus $Z$ , die als Funktionswert angenommen werden:
  
  $f (D) : = {y \in Z | es gibt ein x \in D mit f (x) = y} .$
  
  Definition 3definition_3
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Sei $x \in D$ . Dann nennt man $y = f (x) \in Z$ das Bild von $x$ . Umgekehrt sei $y \in f (D)$ mit $y = f (x)$ für ein $x \in D$ . Dann nennt man $x$ das Urbild von $y$ .
  
  Definition 4definition_4
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine Funktion. Dann heißt die Funktion $f$ umkehrbar, wenn es zu jedem Funktionswert $y \in Z$ genau ein Urbild gibt, d.h. genau ein $x \in D$ mit $f (x) = y$ .
  
  Definition 5definition_5
  Seien $D$ und $Z$ Mengen. Sei $f : D \to Z$ eine umkehrbare Funktion. Dann heißt die Funktion $f^{- 1} : Z \to D$ , die jedem $y \in Z$ ihr Urbild $x \in D$ unter $f$ zuordnet, Umkehrfunktion von $f$ .
  
  Satz 1satz_1
  Wenn $f : D \to Z$ eine umkehrbare Funktion ist, dann gilt für alle $x$ aus der Definitionsmenge $D$ der Funktion $f$
  $f^{- 1} (f (x)) = x$
  und für alle $y$ aus der Zielmenge $Z$ von $f$
  $f (f^{- 1} (y)) = y .$
  
  Definition 6definition_6
  Sei $D \subset ℝ$ . Seien $f : D \to ℝ$ und $g : D \to ℝ$ Funktionen mit der gleichen Definitionsmenge. Dann kann man die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Funktionen definieren durch:
  
  $\begin{matrix} f + g : D \to ℝ, & x \mapsto (f + g) (x) : = f (x) + g (x), \\ f \cdot g : D \to ℝ, & x \mapsto (f \cdot g) (x) : = f (x) \cdot g (x), \\ f - g : D \to ℝ, & x \mapsto (f - g) (x) : = f (x) - g (x) . \end{matrix}$
  Gilt $g (x) \neq 0$ für alle $x \in D$ , dann kann man auch den Quotienten definieren als:
  
  $\frac{f}{g} : D \to ℝ, x \mapsto (\frac{f}{g}) (x) : = \frac{f (x)}{g (x)} .$
  
  Definition 7definition_7
  Seien $D_{f}, D_{g} \subset ℝ$ , seien $f : D_{f} \to Z_{f}, g : D_{g} \to Z_{g}$ Funktionen. Die Wertemenge $f (D_{f})$ der Funktion $f$ sei in der Definitionsmenge $D_{g}$ der Funktion $g$ enthalten. Dann kann man $g$ nach $f$ ausführen und erhält die Verkettung von $f$ und $g$ (sprich $g$ verknüpft mit $f$ ). Man schreibt dafür:
  $\begin{matrix} (g \circ f) : D_{f} \to Z_{g}, & (g \circ f) (x) = g (f (x)) . \end{matrix}$
  Es sind auch Verkettungen von mehr als zwei Funktionen möglich.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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