Topic: Anwendung | Logarithmen

Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Logarithmen

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Anwendung

Datum Sep 28, 2026

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Logarithmen

Beispiel 1
Termvereinfachungen
Wir wenden nun die Definitionen und Gesetze von Potenzen und Logarithmen an einigen einfachen Beispielen an. Folgende Ausdrücke werden wir, ohne einen Taschenrechner zu verwenden, berechnen.

$\log_{4} (64)$
$\log_{6} (2) + \log_{6} (3)$
$\log_{2} (4^{25})$
$\log_{2} (\sqrt[3]{2})$
$\log_{9} (162) - \log_{9} (2)$

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Nach der Definition des Logarithmus ist der Exponent $x$ gesucht, für den $4^{x} = 64$ gilt. Also folgt $\log_{4} (64) = 3$ .
Mit (L1) erhalten wir $\log_{6} (2) + \log_{6} (3) = \log_{6} (2 \cdot 3) = \log_{6} (6) = 1$ .
Mit (L3) ergibt sich $\log_{2} (4^{25}) = 25 \cdot \log_{2} (4) = 25 \cdot 2 = 50$ .
Mit der Definition des Logarithmus erhalten wir $\log_{2} (\sqrt[3]{2}) = \log_{2} (2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$ .
Mit Hilfe von (L2) bekommen wir
$\log_{9} (162) - \log_{9} (2) = \log_{9} (\frac{162}{2})$
$= \log_{9} (81) = 2$ .

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Beispiel 2
Lösen von Gleichungen
Anhand einiger Beispiele werden wir nun sehen, wie die erlernten Definitionen und Gesetze angewendet werden können, um Gleichungen zu lösen.
Sei

a > 1

und

x > 0

$\log_{2} (x) = 3$
$\log_{a - 1} (9) = 2$
$\log_{2} (\sqrt{x}) = 2$
$2 \cdot \log_{10} (x) - \log_{10} (4 x - 4) = 0$

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Nach der Definition des Logarithmus ergibt sich $\log_{2} (x) = 3 \Rightarrow x = 2^{3} = 8$ .
Gemäß der Definition des Logarithmus folgt aus $\log_{a - 1} (9) = 2$ die Gleichung $(a - 1)^{2} = 9$ . Diese quadratische Gleichung besitzt die zwei Lösungen $a = 4$ und $a = - 2$ , wobei die letztere wegfällt, da nach Definition des Logarithmus $a - 1 > 0$ sein muss.
Mit (L3) folgt aus $\log_{2} (\sqrt{x}) = \log_{2} (x^{\frac{1}{2}}) = 2$ die Gleichung $\frac{1}{2} \log_{2} (x) = 2$ . Multiplikation mit $2$ bringt $\log_{2} (x) = 4$ und somit $x = 2^{4} = 16$ .
Da der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist, muss zunächst $x > 0$ und $4 x - 4 = 4 (x - 1) > 0$ sein, also $x > 1$ . Nun formen wir mit den Logarithmusregeln um:
$\log_{10} (x^{2}) - \log_{10} (4 x - 4)$
$= \log_{10} (\frac{x^{2}}{4 x - 4}) = 0 .$
Wir erheben beide Seiten in die Potenz zur Basis $10$ :
$\frac{x^{2}}{4 x - 4} = 10^{0} = 1 .$
Dies führt auf die quadratische Gleichung:
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
bzw.
$(x - 2)^{2} = 0$
mit der Lösung
$x = 2 .$

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Beispiel 3
Rechenschieber
Als es noch keine Taschenrechner gab, benutzte man im Schulunterricht und in der Praxis Rechenschieber. Rechenschiebern liegt das Rechnen mit Logarithmen zugrunde. Wir machen das Prinzip an der Multiplikation klar.
Es gilt:

2 \cdot 3 = 10^{\log_{10} (2)} \cdot 10^{\log_{10} (3)} = 10^{\log_{10} (2) + \log_{10} (3)} = 10^{\log_{10} (2 \cdot 3)}

= 10^{\log_{10} (6)} = 6 .

Die Multiplikation

2 \cdot 3

wird auf dem Rechenschieber durch die Addition der Logarithmen

\log_{10} (2) + \log_{10} (3)

simuliert. (Man addiert, indem man Stäbe aneinander legt).

Bild 1 Das Prinzip des Rechenschiebers am Beispiel der Multiplikation von

2

und

3

Bei der Multiplikation zweier beliebiger Zahlen spielen nur Mantissen (Vorfaktoren von Zehnerpotenzen) eine Rolle:

2000 \cdot 0,3 = 2 \cdot 10^{3} \cdot 3 \cdot 10^{- 1} = 2 \cdot 3 \cdot 10^{3 - 1} = 6 \cdot 10^{2} = 600 .

Wir müssen also wie vorhin nur die Multiplikation der Mantissen

2

und

3

bewerkstelligen. Das machen wir mit dem Rechenschieber. Das Komma wird durch eigene, die mechanische Arbeit begleitende, Kopfrechnung gesetzt. Auf dem Rechenschieber wird eine logarithmische Skala der Zahlen

1

bis

10

abgetragen. Dass wir nur die Mantissen brauchen ist sehr praktisch, sonst wären Rechenschieber unendlich lang.

Bild 2 Logarithmische Skala: Die Logarithmusfunktion ist umkehrbar eindeutig. Auf einer Skala von 0 bis 1 markieren wir die Logarithmen der Zahlen

1

bis

10

Beispiel 4
Der pH-Wert
Der pH-Wert ist definiert als der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration

pH : = - \log_{10} (H_{3} O^{+}) .

Er ist ein Maß für die Stärke der sauren bzw. basischen Wirkung einer Lösung. Der Name leitet sich von pondus Hydrogenii (lat. pondus = Gewicht; hydrogenium = Wasserstoff) ab. Im natürlichen System liegt der pH-Wert im allgemeinen zwischen

0

und

14

, wobei ein niedriger Wert auf einen sauren Charakter und ein hoher Wert auf einen basischen Charakter hindeutet. Der Wert einer neutralen Lösung liegt bei

7

. In der folgenden Tabelle werden einige typische Säuren und Basen zu ihren pH-Werten zugeordnet.

0 - 2	3 - 4	5 - 6	7	8 - 9	10 - 11	12 - 14
stark sauer			neutral			stark basisch
Schwefelsäure,	Zitronensaft,	Essigsäure,	Kochsalzlösung,	Speichel,	Gülle,	Zement,
Batteriesäure,	Magensäure,	Regenwasser,	Neutralseife,	Seifenlösung,	Ammoniak,	Kalkwasser,
Essigessenz,	Seen in Schweden,	Lakritz,	Zuckerlösung	Mineralwasser,	Fensterputzmittel	Rohrfrei,
Sanitärreiniger	Saurer Regen	Obst		Blut		Domestos

Nehmen wir an, wir haben eine Lösung gegeben, bei der sich

0,01

H_{3} 0^{+}

-Ionen in

1

Mol wässriger Flüssigkeit befinden. Der pH-Wert dieser Lösung beträgt demnach

pH = - \log_{10} (0,01) = - \log_{10} (10^{- 2}) = - (- 2) = 2 .

Es handelt sich also bei der Lösung um eine starke Säure.

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