Abschnitt: Hinführung | Logarithmen

- Aktivität Hinführung auswählen
  Chapter 1 Studifinder - 1.3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen - Logarithmen
  
  Hinführung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_pwl_logarithmen_
  
  Logarithmen
  
  3
  
  3
  
  bereich_2
  Um Gleichungen zu lösen, benötigt man Umkehroperationen, wie man an den folgenden Beispielen ( $x \in ℝ, x > 0$ ) erkennen kann.
  
  $x - 15 = 0 ∣ + 15 \Rightarrow x = 15$
  
  $3 \cdot x = 15 ∣ : 3 \Rightarrow x = 5$
  
  $x^{2} = 25 ∣ \sqrt{} \Rightarrow x = 5$
  
  Doch wie lautet nun die Lösung der Gleichung $5^{x} = 125$ und durch welche Umkehroperation (zum Potenzieren) erhält man sie? Diese ist der Logarithmus. Man sucht die Zahl $x$ , für die $5^{x} = 125$ gilt und bezeichnet $x$ als den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ . Nach Definition des Logarithmus gilt also
  $5^{x} = 125 \Rightarrow x = \log_{5} (125) = 3 .$
  Das Ergebnis ist somit die Zahl $3$ , da man die Basis $5$ zur dritten Potenz erheben muss, um das Ergebnis $125$ zu bekommen $(5^{3} = 125)$ . So folgt z.B. aus $a^{1} = a$ die Tatsache, dass $\log_{a} (a) = 1$ ist für $a > 0$ , $a \neq 1$ .
  
  Wir stellen uns nun die Frage, ob man den Logarithmus von einem Produkt zweier Zahlen vereinfacht darstellen kann. Dazu untersuchen wir das Produkt $9 \cdot 27$ . Betrachten wir die Gleichungen $3^{2} = 9$ und $3^{3} = 27$ , so erhalten wir mit der Definition des Logarithmus
  $\begin{matrix} 3^{2} = 9 & \Rightarrow & 2 = \log_{3} (9) \\ 3^{3} = 27 & \Rightarrow & 3 = \log_{3} (27) \end{matrix}$
  Ausgehend von $9 \cdot 27$ verwenden wir nun obige logarithmische Darstellungen der Exponenten $2$ und $3$ , sowie das erste Potenzgesetz. Es ergibt sich
  $9 \cdot 27 = 3^{2} \cdot 3^{3} = 3^{\log_{3} (9)} \cdot 3^{\log_{3} (27)} = 3^{\log_{3} (9) + \log_{3} (27)} .$
  Des Weiteren gilt nach Definition des Logarithmus
  $9 \cdot 27 = 3^{\log_{3} (9 \cdot 27)} .$
  Vergleicht man die Exponenten der rechten Seiten der beiden letzten Gleichungen, so bekommt man schließlich
  $\log_{3} (9) + \log_{3} (27) = \log_{3} (9 \cdot 27) .$
  
  Versuchen Sie nun bei folgenden Gleichungen die fehlenden Operationen anzugeben.
  (Hinweis: Bei der ersten Gleichung gibt es zwei Möglichkeiten.)
  
  $\log_{2} (8) □ \log_{2} (4) = \log_{2} (8 □ 4)$
  
  $\log_{2} (4^{3}) = 3 □ \log_{2} (4)$
  
  Formulieren Sie, unter Berücksichtigung obiger Beispiele, allgemeine Gesetze für Logarithmen (ähnlich wie bei den Potenzgesetzen). Überprüfen Sie ihre Vermutungen an weiteren Beispielen.
  Lösung anzeigen
  [Ausblenden]
  Es gilt
  
  $\log_{2} (8) + \log_{2} (4) = \log_{2} (8 \cdot 4)$ oder $\log_{2} (8) - \log_{2} (4) = \log_{2} (8 / 4)$
  
  $\log_{2} (4^{3}) = 3 \cdot \log_{2} (4)$
  
  [Ausblenden]
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
  Die studiVEMINT-Materialien (einschließlich Videos) sind unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz (CC BY-SA 4.0) lizenziert. Ausgenommen von der Lizenz sind die verwendeten Logos sowie alle anders gekennzeichneten Elemente.
  
  $1+1$

Abschnittsübersicht

Hinführung