Topic: Aufgaben | Funktionsbegriff

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5  Elementare Funktionen - Funktionsbegriff
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
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  Funktionsbegriff
  
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  bereich_4
  
  Aufgabe 1aufgabe_1
  Überprüfen Sie jeweils, ob eine Funktion vorliegt oder nicht:
  
  $g : ℝ \to ℝ : x \mapsto 7 x + 2$
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  $g : ℝ \to ℝ : x \mapsto 7 x + 2$ ist eine Funktion, da alle Werte aus der Definitionsmenge eingesetzt werden dürfen und da jeder dieser Werte auch nur ein zugehöriges Bild besitzt.
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  $j : ℝ \to ℝ : x \mapsto \frac{1}{x}$
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  $j : ℝ \to ℝ : x \mapsto \frac{1}{x}$ ist keine Funktion, da die Definitionsmenge das Element $0$ enthält, zu dem mit der Vorschrift kein Bild ermittelt werden kann.
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  Aufgabe 2aufgabe_2
  Geben Sie jeweils die Wertemenge der Funktionen $f, g : ℝ \to ℝ$ mit
  $f (x) = 3 x - 4$
  und
  $g (x) = - 4 x^{2} + 22$
  an.
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  Die Funktion $f$ mit $f (x) = 3 x - 4$ stellt eine Gerade dar. Ihre Definitionsmenge ist genauso wie ihre Wertemenge ganz $ℝ$ . Für $y \in ℝ$ und $y = 3 x - 4$ folgt, dass $x = \frac{y + 4}{3}$ das Urbild von $y$ ist.
  
  Die Funktion $g$ mit $g (x) = - 4 x^{2} + 22$ ist eine um 22 nach oben verschobene und nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei $S = (0; 22)$ und es werden nur Werte $y \leq 22$ erreicht. Somit ist der Wertebereich $(- \infty; 22]$ . Zu $y < 22$ kann man die zwei Urbilder durch Auflösen der Gleichung $y = - 4 x^{2} + 22$ nach $x$ errechnen.
  
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  Aufgabe 3aufgabe_3
  Bestimmen Sie $f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ . Überprüfen Sie zunächst, ob die jeweilige Berechnung überhaupt zulässig ist!
  
  $f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2} + 2$     und     $g : ℝ \to ℝ, x \mapsto 3 x$
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  Da die beiden Definitionsbereiche identisch sind, ist eine Addition, Subtraktion und Multiplikation zulässig. Hierbei ergibt sich:
  
  $\begin{matrix} f + g : & ℝ \to ℝ, & x \mapsto x^{2} + 2 + 3 x \\ = x^{2} + 3 x + 2, \\ f - g : & ℝ \to ℝ, & x \mapsto x^{2} + 2 - 3 x \\ = x^{2} - 3 x + 2, \\ f \cdot g : & ℝ \to ℝ, & x \mapsto (x^{2} + 2) \cdot 3 x \\ = 3 x^{3} + 6 x . \end{matrix}$
  Die Division $f : g$ ist nicht erlaubt, da $g (0) = 0$ gilt.
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  $f : ℝ \ {0} \to ℝ,$ $x \mapsto \frac{2 x^{3}}{x^{2}}$     und     $g : ℝ \ {0; 1} \to ℝ,$ $x \mapsto \frac{1}{x (x - 1)}$
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  Da für die Definitionsmengen $ℝ \ {0} \neq ℝ \ {0; 1}$ gilt, ist keine der vier Funktionen definierbar.
  Erklärung
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  Falls wir $f : ℝ \ {0; 1} \to ℝ$ mit $x \mapsto \frac{2 x^{3}}{x^{2}}$ definiert hätten, also mit einer anderen Definitionsmenge, hätte man alle vier zusammengesetzten Funktionen bilden können.
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  Aufgabe 4aufgabe_4
  Bilden Sie $f + g$ mit $f : ℝ \to ℝ, x \mapsto - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ und $g : ℝ \to ℝ, x \mapsto \frac{3}{4} x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{3}{2} .$ Zeichnen Sie alle drei Funktionen anschließend in das selbe Koordinatensystem. Wie ist $f + g$ graphisch aus $f$ und $g$ entstanden?
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  Es ergibt sich zunächst rechnerisch:
  
  $\begin{matrix} f + g : & ℝ \to & ℝ, \\ x \mapsto & (- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}) + (\frac{3}{4} x^{2} - \frac{7}{4} x - \frac{3}{2}) \end{matrix}$
  und damit
  $f + g : ℝ \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x$
  
  Die drei Graphen sehen folgendermaßen aus:
  
  Bild 7 Graphen der Funktionen $f$ (blau), $g$ (rot) und $f + g$ (gelb).
  
  Offensichtlich ergibt sich der Funktionsgraph der Additionsfunktion durch die Addition der Streckenlängen der jeweiligen Funktionswerte an gleichen $x$ - Stellen. Sind dabei wie an der ersten markierten Stelle beide Funktionswerte gleich groß (hier ist $f (- 1) = g (- 1) = 1$ ), so ist der zugehörige Funktionswert von $f + g$ genau doppelt so groß: $(f + g) (- 1) = 2 .$
  
  Sind beide Funktionswerte Null, dann haben wir keine zu addierenden Strecken, damit ist auch der Funktionswert $(f + g) (x)$ gleich Null. Dies ist in unserem Beispiel an der Stelle $x = 3$ der Fall.
  
  An der Stelle $x = 1$ haben wir einen negativen Funktionswert $f (1) = - 2,5$ und einen positiven $g (1) = 1,5 .$ Die Streckenlänge von $g (1)$ wird von $f (1)$ abgezogen und man erhält $(f + g) (1) = - 1$ .
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  Aufgabe 5aufgabe_5
  Finden Sie den Fehler in folgender Aussage:
  „ $f : ℝ \to ℝ, f (x) = 2 x^{2} + 3$ ist keine richtige Funktion, da alle $f (x) > 3$ zwei Urbilder haben und alle $f (x)$ unterhalb von $3$ keine. Somit hat nicht jedes Bild genau ein Urbild und damit liegt keine Funktion vor.“
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  Hier liegt eine Fehlvorstellung im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff vor. $f : ℝ \to ℝ, f (x) = 2 x^{2} + 3$ stellt durchaus eine Funktion dar, da jeder $x$ -Wert (Urbild) auf genau einen $y$ -Wert (Bild) abgebildet wird.
  Zwar gibt es zu mehreren Bildern auch zwei Urbilder, dies widerspricht jedoch nicht der Definition von Funktionen.
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