Course: Intro Funktionen

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  Intro Funktionen
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_intro_
  
  Intro Funktionen
  
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  Willkommen!
  
  In der Kurzversion dieser Lerneinheit werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:
  
  Funktionsbegriff
  
  wichtige Funktionen
  
  Kurvendiskussion
  
  Die mathematischen Inhalte in diesem Kurs sind in eine Einstiegsaufgabe eingebettet.
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  Einstiegsaufgabe
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  Indem Sie direkt auf die mathematischen Inhalte springen zu einem der Themen:
  Funktionsbegriff
  ,
  Wichtige Funktionen
  oder
  Kurvendiskussion
  . Diese können Sie zur Wiederholung der wichtigsten Regeln nutzen und um einen Überblick über das Themengebiet zu gewinnen.
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  Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird.
  Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Intro Funktionen
  
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  bereich_1
  
  Einstiegsaufgabe
  
  Eine Programmiererin möchte eine kleine Animation erstellen: Ein blaues Auto soll von links nach rechts $6 cm$ weit über den Bildschirm fahren. Das Auto soll sich in konstantem Tempo bewegen und es soll $2 min$ dauern, bis es auf der rechten Seite ankommt. Es fährt also sehr langsam.
  
  Video 1 video_1
  
  Wie muss die Funktion aussehen, die die Position des Autos in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt?
  
  Um im Programm Variablen anzulegen, muss die Programmiererin sich als erstes überlegen, in welchem Bereich seine Variable $x$ für die Zeit und seine Variable $y$ für den Ort des Autos liegen müssen und welche Art von Variable er dafür braucht.
  
  Aufgabe 1 aufgabe_1
  
  Sie möchte die Zeit, während der sich das Auto bewegt, in seinem Programm in Sekunden angeben. Sie wählt dazu eine Zahlenvariable $x$ . Ein Wert wie $x = 2$ wird dann im Sachkontext als $2 s$ ( $s$ steht für Sekunden) interpretiert.
  Der Startwert liegt also bei $x = 0$ . Welchen Zahlenwert kann $x$ maximal annehmen (also zu dem Zeitpunkt, wenn das Auto die ganzen $6 cm$ zurückgelegt hat)?
  120
  
  Kontrolle
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  Das Auto soll sich in einem Zeitraum von $2 min = 120 s$ über den Bildschirm bewegen, also ist $x = 120$ der Maximalwert.
  
  Auch für die Variable $y$ , die die Position des Autos beschreibt, muss er Minimal- und Maximalwert kennen. Sie möchte die Position in $mm$ berechnen und legt fest, dass der Startpunkt auf der linken Seite des Bildschirms mit $y = 0$ bezeichnet werden soll.
  Wie groß kann die Zahlenvariable $y$ (die die Position in $mm$ beschreibt) hier maximal werden?
  
  60
  
  Kontrolle
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  Das Auto befindet sich zunächst ganz auf der linken Seite, also am Ort $y = 0$ . Es soll sich insgesamt um $6 cm$ bewegen, also kann die Orts-Variable maximal den Wert $6 cm$ , also $60 mm$ , annehmen. Also ist $y = 60$ der Maximalwert.
  
  In der Mathematik gibt man die Menge möglicher Werte für Variablen stets an. Hier kann man also schreiben:
  $0 \leq x \leq$
  120
  
  $0 \leq y \leq$
  60
  
  Kontrolle
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  Da $x$ zwischen $0$ und $120$ variiert, schreibt man $0 \leq x \leq 120$ .
  $y$ variiert zwischen dem Minimalwert $0$ und dem Maximalwert $60$ , sodass man $0 \leq y \leq 60$ schreibt.
  
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  Die Werte, die die Zeit-Variable annimmt, bilden hier die Definitionsmenge.
  Die Werte, die die Orts-Variable (in Abhängigkeit von der Zeit-Variablen) annimmt, bilden die Wertemenge.
  Auch wenn man in der Realität nur endliche Dezimalzahlen messen kann und ein üblicher Computer Zahlen auch nur als endliche Dezimalzahlen mit z.B. 14 Stellen repräsentiert, betrachtet man in der Mathematik in der Regel Teilintervalle der reellen Zahlen als Definitions- und Wertemenge. Man schreibt daher:
  Definitionsmenge: ${x \in ℝ | 0 \leq x \leq 120} = [0; 120]$ und
  Wertemenge: ${y \in ℝ | 0 \leq y \leq 60} = [0; 60]$ ,
  wobei der Ausdruck auf der rechten Seite eine Kurzschreibweise darstellt: Die eckigen Klammern bezeichnen ein geschlossenes Intervall in der Menge der reellen Zahlen.
  Weitere Infos:
  Funktionsbegriff
  
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  Aufgabentext noch einmal ansehen
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  Eine Programmiererin möchte eine Animation programmieren, bei der ein blaues Auto innerhalb von $120 s$ gleichmäßig von der Startposition aus $60 mm$ weit fährt.
  
  Als nächstes muss die Programmiererin eine Funktionsvorschrift finden, die den Ort des blauen Autos in Abhängigkeit von der Zeit in mathematischer Sprache ausdrückt, denn nur die kann der Computer interpretieren.
  Das Auto soll sich gleichmäßig vorwärts bewegen, d.h. in $1 s$ wird immer ein gleichlanger Weg zurückgelegt: Die Ortsvariable $y$ muss linear mit der Zeit $x$ zunehmen. Es kommt deswegen nur die Funktionsvorschrift
  
  $y = m \cdot x + b$
  in Frage.
  Dies ist die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion. Sie muss also die Steigung $m$ und den Achsenabschnitt $b$ bestimmen.
  Start- und Endpunkt sind ihm bekannt:
  
  Zeit $x$ in $s$ Position $y$ in $mm$
  
  $0$ $0$
  
  $120$ $60$
  
  Aufgabe 2 aufgabe_2
  
  Versuchen Sie, die Steigung $m$ und den Achsenabschnitt $b$ mithilfe des Applets so zu wählen, dass der Graph die in der Wertetabelle festgelegten Punkte durchläuft.
  Welche Werte erhalten Sie für $m$ und $b$ ?
  Geben Sie $m$ als Kommazahl ein.
  $m =$
  0,5
  
  $b =$
  0
  
  Kontrolle
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  Durch Ablesen erhält man: $b = 0$ und $m = 0.5$ .
  
  var parameters = { "width":519, "height":524, "showToolBar":false, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showResetIcon":true, "enableLabelDrags":false, "enableShiftDragZoom":true, "enableRightClick":false, "showToolBarHelp":false, "errorDialogsActive":true, "useBrowserForJS":false, 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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Eine Programmiererin möchte eine Animation programmieren, bei der ein blaues Auto innerhalb von $120 s$ gleichmäßig von der Startposition aus $60 mm$ weit fährt.
  
  Durch Ablesen hat sie also folgende Funktionsvorschrift ermittelt:
  $y = 0,5 \cdot x + 0$ für alle $x \in [0; 120]$ .
  Man schreibt auch $f : D \to ℝ$ mit $y = f (x) = 0,5 \cdot x$ , wobei $D = [0; 120]$ die Definitionsmenge ist. Die Funktion $f$ beschreibt den Zusammenhang zwischen der Zeit $x$ und der zurückgelegten Strecke $y$ über den Ausdruck $y = 0,5 x$ . Dabei können nur Zeiten betrachtet werden, für die $x$ in $D$ , hier also $x$ in $[0; 120]$ liegt. Der Ort $y \in ℝ$ wird durch eine reelle Zahl beschrieben, für die es keine Einschränkung gibt.
  
  Aufgabe 3 aufgabe_3
  
  Welche Position $y$ wird das blaue Auto also nach $x = 28 s$ haben?
  $y =$
  14
  $mm$
  
  Kontrolle
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  Durch Einsetzen des $x$ -Wertes erhält man: $y = 0,5 \cdot 28 = 14$ .
  Das Auto wird sich also $14 mm$ weit nach rechts bewegt haben.
  
  Weitere Infos:
  Funktionsbegriff
  
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  Datum Sep 28, 2026
  
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  Eine Programmiererin möchte eine Animation programmieren, bei der ein blaues Auto innerhalb von $120 s$ gleichmäßig von der Startposition aus $60 mm$ weit fährt.
  
  Die Programmiererin möchte die Animation nun interessanter gestalten, indem er ein rotes Auto hinzufügt. Das rote Auto soll langsamer losfahren und dadurch zunächst hinter dem blauen zurückliegen. Im Laufe der Zeit soll es das blaue Auto aber überholen und schließlich als Erstes an der „Ziellinie“ bei $60 mm$ ankommen. Insgesamt soll das rote Auto $100 s$ brauchen, um die $60 mm$ lange Strecke zurückzulegen.
  
  Aufgabe 4 aufgabe_4
  
  Welcher der folgenden Graphen zeigt eine Funktion, die den gewünschten Ort des roten Autos in Abhängigkeit der Zeit beschreiben könnte?
  
  Graph a)
  Graph b)
  Graph c)
  Graph d)
  
  Kontrolle
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  Graph c) ist richtig. Eine ausführliche Erklärung finden Sie im Folgenden.
  
  Weitere Infos:
  Wichtige Funktionen
  
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  Im Folgenden wird nachgerechnet, dass die Funktion $f : [0; 120] \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = 0,006 \cdot x^{2}$ tatsächlich alle Anforderungen erfüllt.
  
  Wir überprüfen zuerst mögliche Nullstellen.
  Wir suchen also eine Stelle $x_{0}$ mit $f (x_{0}) = 0$ , d.h. $0,006 \cdot x_{0}^{2} = 0$ . Das gilt genau dann, wenn $x_{0} = 0$ ist, denn ein Produkt wird immer genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit ist $x_{0} = 0$ und es gibt keine weiteren Nullstellen.
  
  Info 1: Hinweis zur Variablenverwendung info_1
  Man verwendet die Variable $x$ oft, um eine Funktionsvorschrift zu formulieren. $x$ variiert dabei in der Definitionsmenge, hat also keinen festen Wert.
  Mit $x_{0}$ , $x_{1}$ , ..., $x_{n}$ werden dagegen meist bestimmte (wenn auch häufig unbekannte) Zahlen bezeichnet.
  
  Dann rechnen wir nach, ob das rote Auto tatsächlich nach $100 s$ ankommt, also ob sich für $x_{1} = 100$ tatsächlich $f (x_{1}) = 60$ ergibt.
  Dadurch erhalten wir:
  $\begin{matrix} f (x_{1}) = f (100) & = & 0,006 \cdot 100^{2} \\ = & 0,006 \cdot 10000 \\ = & \frac{6}{1000} \cdot 10000 \\ = & 6 \cdot 10 \\ = & 60 . \end{matrix}$
  Es ergibt sich also wie gewünscht $f (100) = 60$ .
  Anschließend überprüfen wir, ob es einen Punkt gibt, an dem die beiden Autos gleichauf liegen, also zum gleichen Zeitpunkt $x$ die gleiche Position $y$ einnehmen.
  
  Aufgabe 5 aufgabe_5
  
  Wie findet man diesen Punkt im Graphen?
  
  Gar nicht, man kann ihn nur rechnerisch bestimmen.
  Er ist dadurch erkennbar, dass die beiden Kurven dort die gleiche Steigung haben.
  Er entspricht einem Schnittpunkt oder Berührungspunkt der beiden Kurven.
  
  Kontrolle
  Lösung anzeigen
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  Die beiden Autos liegen gleichauf. Das bedeutet, dass sie sich zum gleichen Zeitpunkt $x$ an der gleichen Position $y$ befinden. Hier müssen also beide Kurven an der gleichen Stelle $x_{2}$ den gleichen Funktionswert $f (x_{2})$ haben. Das ist nur an Schnittpunkten und an Berührungspunkten der Fall.
  
  Als letztes ermitteln wir, ob das rote Auto vor dem Überholvorgang hinter dem blauen zurückliegt und später vor dem blauen Auto liegt.
  
  Aufgabe 6 aufgabe_6
  
  Was muss gelten, damit das rote Auto vor dem Überholvorgang hinter dem blauen zurückliegt, aber vor dem blauen Auto ankommt?
  
  Beide Kurven müssen Geraden sein und die Steigung der roten Gerade muss größer sein als die der blauen.
  Links vom Schnittpunkt muss die rote Kurve geringere Funktionswerte annehmen als die blaue, rechts vom Schnittpunkt muss sie höhere Funktionswerte annehmen als die blaue Kurve.
  Die blaue Kurve muss zunächst eine geringere Steigung haben als die rote Kurve und später eine größere Steigung als die rote Kurve.
  
  Kontrolle
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  Damit das rote Auto vor dem Überholvorgang hinter dem blauen zurückliegt, muss seine Position in diesem Zeitintervall stets geringere Werte annehmen als die Position des blauen Autos. Da Funktionswert $y$ die Position der Autos angibt, muss also die rote Kurve in diesem Bereich kleinere Funktionswerte aufweisen als die blaue Kurve.
  Nach dem Überholvorgang, also nach dem Schnittpunkt der Kurven, soll das rote Auto vorne liegen. Das heißt, dass seine Position $y$ in diesem Bereich größere Werte annehmen muss. Also muss die rote Kurve in diesem Bereich größere Funktionswerte $y$ annehmen als die blaue Kurve.
  
  Die ausgewählte Funktion erfüllt also alle Anforderungen.
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  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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