Lineare Funktionen

Hinführung

bereich_2  

	Jahresverbrauch in kWh	Preis in € Tarif specialpro	Preis in € Tarif procity
Haushalt $1$	$1200$	$\mathrm{275,28}$	$\mathrm{268,51}$
Haushalt $2$	$1300$	$\mathrm{288,36}$	$\mathrm{285,97}$
Haushalt $3$	$1600$	$\mathrm{327,60}$	$\mathrm{338,35}$
Haushalt $4$	$2000$	$\mathrm{379,92}$	$\mathrm{408,19}$
Haushalt $5$	$3000$	$\mathrm{510,72}$	$\mathrm{582,79}$

Tabelle 1 Übersicht über den Jahresstromverbrauch von fünf verschiedenen Haushalten mit den Kosten in zwei Tarifen. Die Tabelle gibt jeweils fünf (Zuordnungs-)Paare (Jahresstromverbauch, zugehöriger Preis) an. Sie gibt die Verhältnisse allerdings nur grob wieder. Wenn die Stadtwerke eine Rechnung erstellen, wird der von der Kundin gewählte Tarif (specialpro oder procity), der Jahresstromverbrauch und der zu zahlende Betrag aufgeführt. Dieser Betrag entsteht wie folgt:

${\displaystyle (*)\mathrm{ }\begin{array}{cc}\hfill & \text{Arbeitspreis €/kWh}\hspace{0.5em}·\hspace{0.5em}\text{Stromverbrauch kWh}\hfill \\ \hfill & +\hspace{0.5em}\text{Servicepauschale €}\hfill \\ \hfill =& \text{Rechnungsbetrag €}.\hfill \end{array}}$
 
Nehmen wir an, eine Kundin mit einem Jahresstromverbrauch von $3578$ kWh hat den Tarif procity gewählt. Die Stadtwerke stellen dann folgende Rechnung aus. Zu der Servicepauschale in Höhe von $\mathrm{58,99}$ € kommen noch Kosten in Höhe von $\mathrm{17,46}$ Ct/kWh $·3578$ kWh. Dies ergibt den Rechnungsbetrag:

${\displaystyle \mathrm{0,1746}\hspace{0.5em}\text{€/kWh}·3578\hspace{0.5em}\text{kWh}+\mathrm{58,99}\hspace{0.5em}\text{€}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{683,71}\hspace{0.5em}\text{€}.}$
Allgemein kann man nun für einen beliebigen Jahresstromverbauch $x$ den zugehörigen Rechnungsbetrag im Tarif procity ausrechnen:

${\displaystyle \mathrm{0,1746}\hspace{0.5em}\text{€/kWh}·x\hspace{0.5em}\text{kWh}+\mathrm{58,99}\hspace{0.5em}\text{€}.}$
Lassen wir die Einheiten weg und schreiben $y$ für den Rechnungsbetrag, so ergibt sich folgende Berechnungsformel für den Tarif procity:

${\displaystyle y=\mathrm{0,1746}·x+\mathrm{58,99}.}$
Ganz analog ergibt sich im Tarif specialpro:

${\displaystyle y=\mathrm{0,1308}·x+\mathrm{118,32}.}$
Man kann die Zusammenhänge also durch lineare Funktionen mit den Funktionsvorschriften $f(x)=\mathrm{0,1746}·x+\mathrm{58,99}$ bzw. $g(x)=\mathrm{0,1308}·x+\mathrm{118,32}$ angeben. Der große Vorteil von Funktionen gegenüber der Tabelle besteht nun darin, dass sie Aufschluss über alle Wertepaare liefern. Zu Funktionen gehören immer auch ein Definitions- und Zielmenge. In diesem Fall umfasst die Definitionsmenge die Menge aller Zahlen, die man für den Stromverbrauch einsetzen kann. Wir nehmen dafür alle positiven reellen Zahlen: $ℝ{}^{+}=\{x\in ℝ\hspace{0.5em}|\hspace{0.5em}x\ge 0\}$. Die Zielmenge ist die Menge, in der die möglichen Funktionswerte, also Rechnungsbeträge, liegen. Auch sie können nicht negativ sein. Deshalb wählen wir auch hier $ℝ{}^{+}$. Reale Messwerte sind zwar rationale Zahlen (der Stromzähler liefert beispielsweise nur eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen), aber es ist in der Mathematik üblich, idealisierend Funktionen über $ℝ$ zu betrachten, da die mathematische Theorie hierfür in gewissem Sinne einfacher ist. Man kann die Funktionen daher definieren als:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f:}& \hfill & ℝ{}^{+}\to ℝ{}^{+}\mathrm{ }\text{mit}\mathrm{ }f(x)=\mathrm{0,1746}·x+\mathrm{58,99}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{g:}& \hfill & ℝ{}^{+}\to ℝ{}^{+}\mathrm{ }\text{mit}\mathrm{ }g(x)=\mathrm{0,1308}·x+\mathrm{118,32}\hfill \end{array}}$
Die lineare Funktion Stromtarif gibt also den Zusammenhang „Jahresverbrauch $\to$ Strompreis“  an. Bei gegebenem Verbrauch lässt sich der Rechnungsbetrag ermitteln. Die umgekehrte Problemstellung ist oft genauso interessant. Bei bekanntem Rechnungsbetrag wird nach dem Verbrauch gefragt. Wie viel Strom wurde denn eigentlich verbraucht, wenn die Rechnung so hoch ist? Man kann auf diesem Wege insbesondere die ausgestellte Rechnung kontrollieren. Im Tarif specialpro gilt nach Auflösen der Gleichung nach der Variablen $x$:

${\displaystyle x\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{1}{\mathrm{0,1308}}·(y-\mathrm{118,32})\hspace{0.5em}.}$
Beispielsweise gehört zu einem Rechnungsbetrag von $300\hspace{0.5em}\text{€}$ ein Jahresverbrauch von $\mathrm{1388,99}\hspace{0.5em}\text{kWh}$, denn
${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,1308}}·(300-\mathrm{118,32})=\mathrm{1388,99}\hspace{0.5em}.}$
Wie im vorangegangenen Teil dieses Kurses beschrieben wurde, ist es oft hilfreich, den Graph einer Funktion zu betrachten. Eine graphische Darstellung hat den Vorteil, dass man den Verlauf der Wertepaare veranschaulichen kann. Ein weiterer großer Vorteil besteht darin, dass man unterschiedliche Stromtarife auf einen Blick vergleichen kann. Das folgende Video zeigt noch einmal, wie man von einer Funktionsvorschrift zu einer graphischen Darstellung gelangt.
Der Weg über die Wertetabelle zum Graphen kann mit Computereinsatz bewerkstelligt und leicht verfeinert werden. Man bekommt aber in vielen Fällen keine Einsicht in die Eigenschaften des Graphen. Wie kann man aus der Funktionsvorschrift Eigenschaften des Graphen finden, welche eine Veranschaulichung ermöglichen? Was haben unsere beiden Vorschriften gemeinsam? Was zeichnet sie aus? Wenn man beide Funktionsgleichungen betrachtet
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & \mathrm{0,1746}·x+\mathrm{58,99}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & \mathrm{0,1308}·x+\mathrm{118,32}\hfill \end{array}}$
und mit ihren Graphen vergleicht, so stellt man fest, dass sich der Wert der Servicepauschale leicht wiederfinden lässt. Graph $1$ (procity) schneidet die $y$-Achse bei $\mathrm{58,99}$, Graph $2$ (specialpro) bei $\mathrm{118,32}$. Ist der Stromverbrauch gleich Null, so ist der Preis gemäß Gleichung (*) gleich der Servicepauschale.
 
Auch der Arbeitspreis (Preis pro kWh) erscheint jeweils in den Graphen. Bei positivem Stromverbrauch ergeben sich folgende Verhältnisse:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\frac{y-\mathrm{58,99}}{x}}& =\hfill & \mathrm{0,1746}\hspace{0.5em},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\frac{y-\mathrm{118,32}}{x}}& =\hfill & \mathrm{0,1308}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
 
 
Für den Verbraucher stellt sich die Frage nach dem günstigsten Tarif. Der Tarif procity hat eine niedrigere Servicepauschale als der Tarif specialpro. Dafür ist bei specialpro der Arbeitspreis höher als bei procity. Ist der Jahresverbrauch gleich Null, so ist der Tarif procity günstiger. Bei hohem Verbrauch ist der Tarif specialpro dagegen attraktiver. Wir suchen den Verbrauch, bei dem die Stromkosten gleich sind. Die Stromkosten werden also gleichgesetzt

${\displaystyle \mathrm{0,1746}·x_s+\mathrm{58,99}=\mathrm{0,1308}·x_s+\mathrm{118,32}}$
und wir bekommen den Verbrauch

${\displaystyle (\mathrm{0,1746}-\mathrm{0,1308})x_s=\mathrm{118,32}-\mathrm{58,99}}$
bzw.

${\displaystyle x_s=\frac{\mathrm{59,33}}{\mathrm{0,0438}}\approx \mathrm{1354,5662}\hspace{0.5em}.}$
Der Tarif procity ist also günstiger, wenn der Verbrauch unterhalb von $x_s$ liegt. Achtung: Das konnte man aufgrund der Beispieltabelle nicht vermuten. Liegt der Verbrauch oberhalb von $x_s$, so ist der Tarif specialpro günstiger. Beide Tarife ergeben bei einem Verbrauch von $x_s$ denselben Preis:

${\displaystyle y_s=\mathrm{0,1746}·x_s+\mathrm{58,99}=\mathrm{0,1308}·x_s+\mathrm{118,32}\approx \mathrm{295,4972}\hspace{0.5em}.}$
 
Bezeichnen wir nun die Servicepauschale mit $b$ und den Arbeitspreis mit $m$, so ergibt sich allgemein die Gleichung
${\displaystyle y=m·x+b,}$
wobei die Variablae $x$ für den Jahresverbrauch an Strom und die Variable $y$ für den Gesamtpreis der Stromrechnung steht.
 
Mit Funktionsvorschriften der Gestalt $y=m·x+b$ haben wir den Zusammenhang zwischen Stromverbrauch und Rechnungspreis beschrieben. Die Parameter $m$ bzw. $b$ standen dabei für den Arbeitspreis bzw. die Servicepauschale in den jeweiligen Stromtarifen. Im Allgemeinen hat man für die Variablen $x$ und $y$ nicht konkrete Größen oder Maßzahlen, sondern $x$ und $y$ sind reelle Zahlen.