Abschnitt: Aufgaben | Lineare Funktionen

Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Lineare Funktionen

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Aufgaben

Datum Sep 28, 2026

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Lineare Funktionen

Aufgabe 1
Gegeben ist die lineare Funktion:

f : ℝ \to ℝ, f (x) = - x + \frac{1}{2}

für alle

x \in ℝ

Ergänzen Sie folgende Tabellen:

Argument	$10$	$- 10$	$0$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{2}{5}$	$3 a$	$- 2 a$
Funktionswert	-19/2	21/2	1/2	1/6	9/10	-3a+1/2	2a+1/2

Kontrolle

Argument	3/2	1/2	-3/2	-2	11/6	-24b+1/2	4b+1/2
Funktionswert	$- 1$	$0$	$2$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$24 b$	$- 4 b$

Kontrolle

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Die Funktionswerte in der ersten Tabelle berechnen sich durch Einsetzen des zugehörigen Arguments für

x

in die Funktionsvorschrift

y = - x + \frac{1}{2} .

So ergibt sich z.B. der Funktionswert zum Argument

x = 10

als

y = - 10 + \frac{1}{2} = - \frac{19}{2} .

Setzt man das Argument

x = - 10

ein, erhält man

y = - (- 10) + \frac{1}{2} = 10 + \frac{1}{2} = \frac{21}{2} .

Auf diesem Weg erhalten wir die folgende Tabelle:

Argument	$10$	$- 10$	$0$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{2}{5}$	$3 a$	$- 2 a$
Funktionswert	$- \frac{19}{2}$	$\frac{21}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{9}{10}$	$- 3 a + \frac{1}{2}$	$2 a + \frac{1}{2}$

Um nun die Argumente aus der zweiten Tabelle zu berechnen, müssen wir zunächst die Gleichung nach

x

auflösen, da wir nun

y

gegeben haben und das jeweils zugehörige

x

suchen:

\begin{matrix} y & = & - x + \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow y - \frac{1}{2} & = & - x \\ \Leftrightarrow - y + \frac{1}{2} & = & x \end{matrix}

Damit berechnen wir nun z.B. für

y = - 1

das Argument

x = - (- 1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} .

Analog können wir nun auch die zweite Tabelle vervollständigen:

Argument	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 2$	$\frac{11}{6}$	$- 24 b + \frac{1}{2}$	$4 b + \frac{1}{2}$
Funktionswert	$- 1$	$0$	$2$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$24 b$	$- 4 b$

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Aufgabe 2
Gegeben sind die linearen Funktionen

f_{1} : ℝ \to ℝ

mit

f_{1} (x) = 2 x - 5

und

f_{2} : ℝ \to ℝ

mit

f_{2} (x) = - \frac{5}{6} x + 1

. Berechnen Sie die Nullstellen beider Funktionen und den Schnittpunkt der zugehörigen Graphen.
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Nullstelle von

y = 2 x - 5 :

\begin{matrix} 0 & = & 2 x - 5 \\ \Leftrightarrow 5 & = & 2 x \\ \Leftrightarrow \frac{5}{2} & = & x \end{matrix}

Damit hat

y = 2 x - 5

seine Nullstelle bei

x = \frac{5}{2} .

Nullstelle von

y = - \frac{5}{6} x + 1 :

\begin{matrix} 0 & = & - \frac{5}{6} x + 1 \\ \Leftrightarrow - 1 & = & - \frac{5}{6} x \\ \Leftrightarrow \frac{6}{5} & = & x . \end{matrix}

Die Nullstelle von

y = - \frac{5}{6} x + 1

ist demnach

x = \frac{6}{5} .

Zur Berechnung des Schnittpunkts der beiden Graphen setzen wir die Funktionsterme gleich und erhalten

\begin{matrix} 2 x - 5 & = & - \frac{5}{6} x + 1 \\ \Leftrightarrow 2 x & = & - \frac{5}{6} x + 6 \\ \Leftrightarrow \frac{12}{6} x + \frac{5}{6} x & = & 6 \\ \Leftrightarrow \frac{17}{6} x & = & 6 \\ \Leftrightarrow x & = & \frac{36}{17} . \end{matrix}

Die Graphen schneiden sich demnach an der Stelle

x = \frac{36}{17} .

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, fehlt allerdings noch der zugehörige Funktionswert, den wir durch Einsetzen von

x = \frac{36}{17}

in eine der beiden Funktionsvorschriften erhalten:

y = 2 \cdot \frac{36}{17} - 5 = \frac{2 \cdot 36 - 5 \cdot 17}{17} = - \frac{13}{17} .

Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist also

S = (\frac{36}{17}; - \frac{13}{17}) .

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Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift der linearen Funktion, deren Graph durch den Punkt

P (- 3; 2)

geht und die Steigung

m = - \frac{2}{5}

besitzt.

f (x) =

Kontrolle

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Die allgemeine Funktionsvorschrift einer linearen Funktion lautet

y = m \cdot x + b .

Mit

m = - \frac{2}{5}

erhalten wir die Funktionsvorschrift

y = - \frac{2}{5} x + b .

Um letztlich noch

b

zu bestimmen, setzten wir die Koordinaten des Punktes P, durch den die Gerade laufen soll, in die Funktionsvorschrift ein:

\begin{matrix} 2 & = & - \frac{2}{5} \cdot (- 3) + b \\ \Leftrightarrow 2 & = & \frac{6}{5} + b \\ \Leftrightarrow \frac{10}{5} - \frac{6}{5} & = & b \\ \Leftrightarrow \frac{4}{5} & = & b . \end{matrix}

Somit lautet die gesuchte Funktionsvorschrift

y = - \frac{2}{5} \cdot x + \frac{4}{5} .

Alternativ hätten wir auch die Punkt - Richtungs - Form

\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = m

verwenden können und wären dabei natürlich auf das selbe Ergebnis gekommen:

\begin{matrix} \frac{y - 2}{x - (- 3)} & = & - \frac{2}{5} \\ \Leftrightarrow y - 2 & = & - \frac{2}{5} \cdot (x + 3) \\ \Leftrightarrow y - 2 & = & - \frac{2}{5} x - \frac{6}{5} \\ \Leftrightarrow y & = & - \frac{2}{5} x - \frac{6}{5} + 2 \\ \Leftrightarrow y & = & - \frac{2}{5} x + \frac{4}{5} . \end{matrix}

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Video 4

In diesem Video wird aus Punkt und Steigung die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion bestimmt.

Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift der linearen Funktion, deren Graph durch die beiden Punkte

P_{1} (- 1; 3)

und

P_{2} (3; 7)

geht.

f (x) =

Kontrolle

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Zur Lösung dieser Aufgabe können wir entweder ausgehend von der Funktionsvorschrift

y = m \cdot x + b

die beiden Punkte einsetzen, sodass wir die beiden Funktionsvorschriften

3 = m \cdot (- 1) + b

und

7 = m \cdot 3 + b

erhalten. Durch Auflösen und Einsetzten können wir dann sowohl

m

als auch

b

bestimmen.

Alternativ wollen wir hier nun die Zwei - Punkte - Form

\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

verwenden. Dazu setzten wir lediglich die vorgegebenen Koordinaten von

P_{1}

und

P_{2}

ein und lösen nach

y

auf:

\begin{matrix} \frac{y - 3}{x - (- 1)} & = & \frac{7 - 3}{3 - (- 1)} \\ \Leftrightarrow \frac{y - 3}{x + 1} & = & \frac{4}{4} \\ \Leftrightarrow y - 3 & = & x + 1 \\ \Leftrightarrow y & = & x + 4 . \end{matrix}

Die gesuchte Geradengleichung lautet also

y = x + 4 .

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Beispiel 2
Wir betrachten die linearen Funktionen, die für alle

x \in ℝ

und mit

m \in ℝ

durch die Funktionsvorschriften

y = m x + 3 und y = 2 x + 1

beschrieben werden und untersuchen diese auf einen Schnittpunkt

S (x_{s}; y_{s})

.
Ist

m = 2

, so sind die Geraden parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.
Ist

m \neq 2

, so setzen wir die Funktionsvorschriften gleich

m x_{s} + 3 = 2 x_{s} + 1 \Leftrightarrow (m - 2) x_{s} = - 2

und bekommen

x_{s} = - \frac{2}{m - 2}, y_{s} = 2 x_{s} + 1 = - \frac{4}{m - 2} + 1 .

Aufgabe 5
Wie muss man

m

und

b

wählen, damit die Geraden

y = m x + b, 3 x + 5 y = 1

genau einen Schnittpunkt besitzen? Wie muss man

m

und

b

wählen, damit die Geraden zusammenfallen?
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Um die Fragen leichter beantworten zu können, lösen wir die rechte Funktionsvorschrift zunächst nach

y

auf:

\begin{matrix} 3 x + 5 y & = & 1 \\ \Leftrightarrow 5 y & = & 1 - 3 x \\ \Leftrightarrow y & = & - \frac{3}{5} x + \frac{1}{5} . \end{matrix}

Es ist klar, dass für

m = - \frac{3}{5}

und

b = \frac{1}{5}

die beiden Geraden zusammenfallen.
Bei gleicher Steigung, aber unterschiedlichem

b

sind die Geraden parallel aber nicht identisch und können sich somit nicht schneiden. D.h. für

m = - \frac{3}{5}

und

b \neq \frac{1}{5}

haben die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
In allen anderen Fällen, also für

m \neq - \frac{3}{5}

, gilt für den Schnittpunkt einerseits (aufgrund der ersten Funktionsvorschrift)

y_{s} = m \cdot x_{s} + b

und andererseits (aufgrund der nach

y

aufgelösten zweiten Gleichung)

y_{s} = - \frac{3}{5} x_{s} + \frac{1}{5} .

Diese beiden Gleichungen kann man gleichsetzen und erhält

\begin{matrix} m \cdot x_{s} + b & = & - \frac{3}{5} x_{s} + \frac{1}{5} \\ \Rightarrow (m + \frac{3}{5}) x_{s} & = & \frac{1}{5} - b \\ \Leftrightarrow x_{s} & = & \frac{\frac{1}{5} - b}{m + \frac{3}{5}} . \end{matrix}

Das heißt, für

m \neq - \frac{3}{5}

und beliebige

b

existiert genau ein Schnittpunkt.
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Aufgabe 6
Gegeben sind die linearen Funktionen

f_{1} : ℝ \to ℝ

mit

f_{1} (x) = - x + 2

und

f_{2} : ℝ \to ℝ

mit

f_{2} (x) = a x + b

. Bestimmen Sie

a, b \in ℝ

so, dass die beiden Graphen...
(i)... genau einen Schnittpunkt haben
(ii)... keinen Schnittpunkt haben
(iii)... zusammenfallen.
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Die Lösung dieser Aufgabe verläuft analog zur Lösung der vorherigen Aufgabe. Für

a = - 1

und

b = 2

haben wir mit

y = - x + 2

dieselbe Funktionsvorschrift und damit zwei identische Funktionen, deren Graphen zusammenfallen (Lösung zu (

iii

)).
Für

a = - 1

und

b \neq 2

haben wir gleiche Steigungen, aber unterschiedliche

y -

Achsenabschnitte, d.h. die Graphen der beiden Funktionen verlaufen parallel und haben keinen Schnittpunkt (Lösung zu (

ii

)).
Wählen wir

a \neq - 1

und

b \neq 2,

so erhalten wir zwei Funktionen mit unterschiedlicher Steigung und unterschiedlichem

y -

Achsenabschnitt und damit zwei Geraden die sich schneiden. Auch für

a \neq - 1

und

b = 2

schneiden sich die Geraden und es lässt sich zeigen, dass deren Schnittpunkt auch der Schnittpunkt mit der

y -

Achse ist. Also schneiden sich die beiden Geraden genau dann, wenn

a \neq - 1

gilt (Lösung zu (

i

)).

b

ist hier beliebig.
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Video 5

In diesem Video werden die Parameter von zwei linearen Funktionen so bestimmt, dass beide Funktionen unendlich viele Schnittpunkte haben.

Video 6

In diesem Video werden die Parameter von zwei linearen Funktionen so bestimmt, dass beide Funktionen keinen Schnittpunkt haben.

Video 7

In diesem Video werden die Parameter von zwei linearen Funktionen so bestimmt, dass beide Funktionen genau einen Schnittpunkt haben.

Aufgabe 7
Geben Sie jeweils zwei lineare Funktionen an, deren Graphen...
(i) ... sich in genau einem Punkt schneiden
(ii) ... mehr als einen Punkt gemeinsam haben
(iii) ... keinen Punkt gemeinsam haben.
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Nun nutzen wir die Erkenntnisse aus den vorherigen Aufgaben umgekehrt:
(i) Da zwei Geraden sich genau dann schneiden, wenn sie unterschiedliche Steigungen haben, müssen wir nur unterschiedliche Werte für den Parameter

m

wählen. Somit schneiden sich z.B. die beiden Geraden

y = 2 x + 7

und

y = 7 x + 7

in einem Punkt.
(ii) Zwei Geraden können nur dann mehr als einen Punkt gemeinsam haben, wenn sie aufeinander liegen und somit identische Funktionsvorschriften besitzen. Dies ist z.B. der Fall bei den beiden Geraden

y = 2 x + 7

und

y = 2 x + 7 .

(iii) Keinen Punkt gemeinsam haben parallele Geraden, die nicht aufeinander liegen. Diese haben die gleiche Steigung

m,

aber unterschiedliche

y

-Achsenabschnitte. Dies erfüllen z.B. die Geraden

y = 2 x + 7

und

y = 2 x + 1 .

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Aufgabe 8
Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften der im Koordinatensystem abgebildeten Geraden.

Bild 8

Grüne Gerade:

f (x) =

Blaue Gerade:

f (x) =

Orangene Gerade:

f (x) =

Rote Gerade:

f (x) =

Schwarze Gerade:

f (x) =

Kontrolle

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Grüne Gerade:
Der

y -

Achsenabschnitt können wir bei

y = 2

ablesen. Gehen wir dann vom entsprechenden Schnittpunkt um eine Einheit nach rechts, erreichen wir den Graphen wieder, wenn wir um

0,5

Einheiten nach oben gehen. Die Steigung ist damit

m = 0,5 .

Insgesamt lautet die Funktionsvorschrift also

y = \frac{1}{2} x + 2 .

Blaue Gerade:
Der

y -

Achsenabschnitt bei der blauen Gerade liegt bei

y = 5 .

Darüber hinaus liest man den Punkt

(- 0,5; 3,5)

ab, durch den die Gerade geht. Aus

y = m \cdot x + 5

ergibt sich durch Einsetzen und Auflösen nach

m

\begin{matrix} 3,5 & = & m \cdot (- 0,5) + 5 \\ \Leftrightarrow - 1,5 & = & m \cdot (- 0,5) \\ \Leftrightarrow m & = & 3 \end{matrix}

und damit die Funktionsvorschrift

y = 3 x + 5 .

Orangene Gerade:
Diese Gerade geht durch den Ursprung, somit ist

b = 0 .

Gehen wir vom Ursprung aus um eine Einheit nach rechts, erreichen wir den Graphen wieder, wenn wir um

7

Einheiten nach unten gehen. Somit ist die Steigung

m = - 7

und wir erhalten die gesuchte Funktionsvorschrift mit

y = - 7 x .

Rote Gerade:
Diese Gerade schneidet die

y -

Achse bei

y = - 3 .

Geht man von hier aus um

2

Einheiten nach rechts, so erreicht man den Graphen, wenn man

0,5

Einheiten nach unten geht. Die Steigung ergibt sich demnach als

y = \frac{- 0,5}{2} = - \frac{1}{4}

und die Geradengleichung lautet

y = - \frac{1}{4} x - 3 .

Schwarze Gerade:
Die letzte Gerade schneidet die

y -

Achse ebenfalls bei

y = - 3 .

Die Steigung berechnen wir wie eben: Wenn wir um

1,5

Einheiten nach rechts gehen, erreichen wir die Gerade wieder, wenn wir um

0,5

Einheiten nach oben gehen. Somit ist

m = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}

und damit

y = \frac{1}{3} x - 3 .

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Video 8

In diesem Video wird aus einem Ausschnitt aus dem Funktionsgraphen die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion bestimmt.

Aufgabe 9
Was würden Sie einem Studierenden raten, der folgende Aussage über lineare Funktionen trifft?

Ich habe bei Klausuren immer Angst, dass ich bei der Berechnung der Steigung statt

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

die Gleichung

m = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}

verwende. Deshalb schreibe ich mir hierfür stets einen Spickzettel.

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Da

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- y_{2} + y_{1}}{- x_{2} + x_{1}} = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}

gilt, kann dieser Fehler nicht auftreten.
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Aufgabe 10
Was würden Sie einem Studenten raten, der folgende Aussage über lineare Funktionen trifft?

Um eine Gerade festzulegen, reicht bereits ein Punkt aus, schließlich sind bei Geraden die Zuwächse und damit auch der Quotient

\frac{f (x)}{x}

stets konstant. Man kann damit also

m

durch diesen Quotient bestimmen und

b

durch Einsetzen ausrechnen.

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Dies gilt nicht bei allen Geraden. Ein Gegenbeispiel liefert uns bereits die Gerade

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = 2 x + 3,

denn es ergibt sich

f (1) = 5

und

f (2) = 7

und damit

\frac{7}{2} \neq \frac{5}{1} .

Die vom Studenten angesprochene Quotientengleichheit

\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}}

für beliebige

x_{1}, x_{2}

gilt nur bei Geraden des Typs

f (x) = m x

und damit für alle Geraden mit

b = 0 .

Dementsprechend braucht man in der Regel auch 2 Punkte, um eine Gerade festzulegen.
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