Abschnitt: Anwendung | Lineare Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Lineare Funktionen
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_lineare_
  
  Lineare Funktionen
  
  5
  
  2
  
  bereich_5
  
  Aufgabe 11aufgabe_11
  
  Gegeben seien zwei lineare Funktionen durch:
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x + 6$ , $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} .$ Berechnen Sie jeweils den Funktionswert an der Stelle $x = 2$ .
  
  $f (2) =$
  12
  
  $g (2) =$
  3
  
  Kontrolle
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  Gegeben sind die linearen Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x + 6, g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} .$ Für die Funktionswerte $y$ ergibt sich an der Stelle $x = 2$ :
  
  $f (2) = 3 \cdot 2 + 6 = 6 + 6 = 12$ und
  
  $g (2) = \frac{2}{3} \cdot 2 + \frac{5}{3} = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3 .$
  
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  Welchen Funktionswert hat jeweils das Argument $x = \frac{1}{2}$ ?
  
  $f (\frac{1}{2}) =$
  15/2
  
  $g (\frac{1}{2}) =$
  2
  
  Kontrolle
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  Gegeben sind die linearen Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x + 6, g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3} .$ An der Stelle $x = \frac{1}{2}$ ergibt sich
  
  $f (\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{2} + 6 = \frac{3}{2} + \frac{12}{2} = \frac{15}{2}$ und
  
  $g (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$ .
  
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  Aufgabe 12aufgabe_12
  
  Gegeben seien zwei lineare Funktionen durch:
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 2$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{5} .$ An welcher Stelle wird jeweils der Funktionswert $y = - 5$ angenommen?
  
  $f :$ $x =$
  -1
  
  $g :$ $x =$
  63/10
  
  Kontrolle
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  Gegeben sind die linearen Funktionen
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 2$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{5} .$ Wir berechnen die Stellen $x$ , an denen der Funktionswert $y = - 5$ angenommen wird.
  Zuerst für die Funktion $f$ :
  
  $\begin{matrix} - 5 & = & 3 x - 2 \\ \Leftrightarrow - 3 & = & 3 x \\ \Leftrightarrow - 1 & = & x . \end{matrix}$
  Es folgt: $x = - 1$ .
  
  Nun für die Funktion $g$ :
  $\begin{matrix} - 5 & = & - \frac{2}{3} x - \frac{4}{5} \\ \Leftrightarrow - 5 + \frac{4}{5} & = & - \frac{2}{3} x \\ \Leftrightarrow - \frac{25}{5} + \frac{4}{5} & = & - \frac{2}{3} x \\ \Leftrightarrow - \frac{21}{5} & = & - \frac{2}{3} x \\ \Leftrightarrow (- \frac{21}{5}) \cdot (- \frac{3}{2}) & = & x \\ \Leftrightarrow \frac{63}{10} & = & x . \end{matrix}$
  Es folgt: $x = \frac{63}{10}$ .
  
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  An welcher Stelle wird jeweils der Funktionswert $y = \frac{2}{5}$ angenommen?
  
  $f :$ $x =$
  4/5
  
  $g :$ $x =$
  -9/5
  
  Kontrolle
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  Gegeben sind die linearen Funktionen
  $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = 3 x - 2$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{5} .$
  Wir berechnen die Stellen $x$ , an denen der Funktionswert $y = \frac{2}{5}$ angenommen wird.
  Zuerst für die Funktion $f$ :
  
  $\begin{matrix} \frac{2}{5} & = & 3 x - 2 \\ \Leftrightarrow \frac{2}{5} + 2 & = & 3 x \\ \Leftrightarrow \frac{2}{5} + \frac{10}{5} & = & 3 x \\ \Leftrightarrow \frac{12}{5} & = & 3 x \\ \Leftrightarrow \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{3} & = & x \\ \Leftrightarrow \frac{4}{5} & = & x . \end{matrix}$
  Es folgt: $x = \frac{4}{5}$ .
  
  Nun für die Funktion $g$ :
  $\begin{matrix} \frac{2}{5} & = & - \frac{2}{3} x - \frac{4}{5} \\ \Leftrightarrow \frac{6}{5} & = & - \frac{2}{3} x \\ \Leftrightarrow - \frac{9}{5} & = & x . \end{matrix}$
  Es folgt: $x = - \frac{9}{5}$ .
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  Beispiel: Aufstellen einer Funktionsvorschrift durch Vorgabe von zwei Punkten
  Sei $x_{2} = 5$ , $x_{1} = - 3$ und $y_{2} = - 2$ , $y_{1} = 2$ . Gesucht ist die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion, die durch die Punkte $(x_{1}; y_{1})$ und $(x_{2}; y_{2})$ geht.
  Es gilt
  $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- 2 - 2}{5 - (- 3)} = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$
  und $b$ berechnet sich wie folgt, da der Punkt $(5; - 2)$ auf der Geraden liegen soll:
  
  $\begin{matrix} - 2 & = & - \frac{1}{2} \cdot 5 + b \\ \Leftrightarrow - 2 & = & - \frac{5}{2} + b \\ \Leftrightarrow - 2 + \frac{5}{2} & = & b \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} & = & b . \end{matrix}$
  Somit ergibt sich folgende Funktionsvorschrift für die lineare Funktion
  $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} .$
  
  Beispiel: Aufstellen einer Funktionsvorschrift durch Vorgabe eines Punktes und der Steigung
  Eine Gerade verlaufe durch den Punkt $(- 3; 4)$ und besitze die Steigung $m = - 2$ . Man gebe die Funktionsvorschrift der linearen Funktion an, deren Graph diese Bedingungen erfüllt.
  Auch hier gilt $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ für beliebige Punkte $(x_{1}; y_{1})$ und $(x_{2}; y_{2})$ auf der Geraden. Setzt man $m = - 2$ ein und wählt $x_{1} = - 3$ , $y_{1} = 4$ (aus der Angabe des Punktes) und lässt den zweiten Punkt $(x_{2}; y_{2})$ allgemein als $(x; y)$ stehen, so erhält man für $x \neq - 3$
  $- 2 = \frac{y - 4}{x - (- 3)} .$
  
  Diese Gleichung kann man nach $y$ auflösen:
  $\begin{matrix} \frac{y - 4}{x + 3} & = & - 2 & | \cdot (x + 3) \\ \Leftrightarrow y - 4 & = & - 2 \cdot (x + 3) \\ \Leftrightarrow y - 4 & = & - 2 x - 6 & | + 4 \\ \Leftrightarrow y & = & - 2 x - 2 . \end{matrix}$
  So erhält man die Geradengleichung, die im übrigen auch für $x = - 3$ gilt.
  
  Aufgabe 13aufgabe_13
  
  Welche Funktionsvorschrift besitzt die Gerade $f : ℝ \to ℝ$ , die durch die beiden Punkte $(- 1; - 4)$ und $(2; 3)$ festgelegt wird?
  $y =$
  7/3*x - 5/3
  
  Kontrolle
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  Wir bestimmen die Funktionsvorschrift der Geraden, die durch die Punkte $(- 1; - 4)$ und $(2; 3)$ festgelegt wird. Dazu benutzen wir die Zwei - Punkte - Form der Geradengleichung:
  $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} für x \neq x_{1}$
  Mit $(x_{1}; y_{1}) = (- 1; - 4)$ und $(x_{2}; y_{2}) = (2; 3)$ ergibt sich für $x \neq - 1$
  $\begin{matrix} \frac{y + 4}{x + 1} & = & \frac{3 + 4}{2 + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{y + 4}{x + 1} & = & \frac{7}{3} \\ \Leftrightarrow y + 4 & = & \frac{7}{3} (x + 1) \\ \Leftrightarrow y + 4 & = & \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \\ \Leftrightarrow y & = & \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} - 4 \\ \Leftrightarrow y & = & \frac{7}{3} x - \frac{5}{3} . \end{matrix}$
  Diese Gleichung gilt auch für $x = - 1$ .
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  Aufgabe 14aufgabe_14
  
  Durch die lineare Gleichung
  $- \frac{3}{2} x - 5 y + 12 = 0$
  wird eine Gerade dargestellt.
  Wie lautet ihre Steigung?
  - 3/10
  
  -0,3
  
  Wie lautet ihr $y$ -Achsenabschnitt? b=
  12/5
  
  2,4
  
  Kontrolle
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  Gegeben ist die Gleichung
  $- \frac{3}{2} x - 5 y + 12 = 0 .$
  Wir lösen diese Gleichung nach $y$ auf, um Steigung und $y$ -Achsenabschnitt der beschriebenen Geraden zu bestimmen
  $\begin{matrix} - \frac{3}{2} x - 5 y + 12 & = & 0 \\ \Leftrightarrow - 5 y & = & \frac{3}{2} x - 12 \\ \Leftrightarrow y & = & - \frac{3}{10} x + \frac{12}{5} . \end{matrix}$
  Der Koeffizient vor $x$ entspricht der Steigung der Geraden. Die Steigung ist $- \frac{3}{10}$ .
  Das absolute Glied entspricht dem $y$ -Achsenabschnitt $b$ . Die Gerade schneidet die $y$ -Achse bei $y = \frac{12}{5}$ .
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  Aufgabe 15aufgabe_15
  
  Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Geraden: $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = - 3 x + 6$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{4} .$
  
  $f :$ $x =$
  2
  
  $g :$ $x =$
  -7/8
  
  Kontrolle
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  Gegeben sind die Funktionen $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = - 3 x + 6$ und $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = \frac{2}{7} x + \frac{1}{4} .$ Den Nullstellen einer Funktion entsprechen die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse des zugehörigen Funktionsgraphen. An diesen Stellen ist der Funktionswert Null. Wir suchen folglich die $x$ -Werte, für die $y = 0$ gilt.
  
  Für die Funktion $f$ ergibt sich
  $\begin{matrix} 0 & = & - 3 x + 6 \\ \Leftrightarrow 3 x & = & 6 \\ \Leftrightarrow x & = & 2 . \end{matrix}$
  Die Nullstelle ist an der Stelle $x = 2$ .
  
  Für die Funktion $g$ ergibt sich
  $\begin{matrix} 0 & = & \frac{2}{7} x + \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow - \frac{2}{7} x & = & \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow x & = & \frac{1}{4} \cdot (- \frac{7}{2}) = - \frac{7}{8} . \end{matrix}$
  Die Nullstelle ist an der Stelle $x = - \frac{7}{8}$ .
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