Abschnitt: Anwendung | Quadratische Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5  Elementare Funktionen - Quadratische Funktionen
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_quadratische_
  
  Quadratische Funktionen
  
  5
  
  3
  
  bereich_5
  
  Aufgabe 16aufgabe_16
  Für den freien Fall eines Körpers gilt das Weg - Zeit - Gesetz:
  $y = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + v_{0} x + y_{0} .$
  Der Körper wird in der Anfangshöhe $y_{0} > 0$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ senkrecht nach oben ( $v_{0} > 0$ ) bzw. nach unten ( $v_{0} < 0$ ) geworfen. $x$ steht für die Zeit in Sekunden und $y$ steht für die Höhe vom Boden in Metern.
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  Sei $v_{0} = 3 \frac{m}{s}$ .
  Welche Anfangshöhe wird benötigt, damit der Körper die Scheitelhöhe von 60 m erreicht?
  
  59,54
  m
  
  Kontrolle
  
  Welche Anfangshöhe wird benötigt, damit der Körper 6 Sekunden in der Luft bleibt?
  
  158,58
  m
  
  Kontrolle
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  Gemäß der Definition in der Hinführung ist der Punkt
  $(x_{s}; y_{s}) = (- \frac{b}{2 a}; c - \frac{b^{2}}{4 a})$
  der Scheitelpunkt der Parabel $y = a x^{2} + b x + c$ . Nun gilt $v_{0} = 3$ , womit wir durch Einsetzen die Gleichung $y = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 3 x + y_{0}$ erhalten. Gesucht ist $y_{0}$ , für das die Scheitelhöhe von $60$ m erreicht wird. Wir setzten dies in die Gleichung ein:
  $60 = c - \frac{b^{2}}{4 a} = y_{0} - \frac{3^{2}}{4 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 9,81)}$
  und lösen dann nach $y_{0}$ auf:
  $\begin{matrix} 60 & = & y_{0} - \frac{3^{2}}{4 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 9,81)} \\ \Leftrightarrow 60 & = & y_{0} - \frac{9}{- 2 \cdot 9,81} \\ \Leftrightarrow 60 & = & y_{0} + \frac{9}{19,62} \\ \Leftrightarrow 60 - \frac{9}{19,62} & = & y_{0} \\ \Leftrightarrow y_{0} \approx 59,54 . \end{matrix}$
  Wir benötigen also eine Anfangshöhe von ungefähr $y_{0} \approx 59,54$ m.
  Wenn der Körper $6$ Sekunden in der Luft bleibt, bedeutet dies, dass ab dem Zeitpunkt des Abwurfs bis zu seinem Auftreffen auf dem Boden genau $6$ Sekunden vergehen. Dies wiederum bedeutet, dass die entsprechende Parabel bei $x = 6$ eine Nullstelle hat und dass damit beim Einsetzen von $x = 6$ in die Funktionsvorschrift $y = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 3 x + y_{0}$ der Wert $y = 0$ herauskommen muss. Hierbei ergibt sich folgende Gleichung, die wir erneut nach $y_{0}$ auflösen:
  $\begin{matrix} 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6 + y_{0} \\ \Leftrightarrow 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 36 + 18 + y_{0} \\ \Leftrightarrow 0 & = & - 18 \cdot 9,81 + 18 + y_{0} \\ \Leftrightarrow 0 & = & - 158,58 + y_{0} \\ \Leftrightarrow y_{0} & = & 158,58 . \end{matrix}$
  Wir benötigen also eine Anfangshöhe von $y_{0} = 158,58$ m.
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  Sei $y_{0} = 55 m$ .
  Welche Anfangsgeschwindigkeit wird benötigt, damit der Körper die Scheitelhöhe von 60 m erreicht?
  
  9,9
  $\frac{m}{s}$
  
  9,90
  
  Kontrolle
  
  Welche Anfangsgeschwindigkeit wird benötigt, damit der Körper 6 Sekunden in der Luft bleibt?
  
  20,26
  $\frac{m}{s}$
  
  Kontrolle
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  Wenn nun $y_{0} = 55$ gilt, lautet die Gleichung zunächst einmal $y = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + v_{0} x + 55 .$ Gesucht ist nun die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0},$ für die erneut ein Scheitelhöhe von $y_{s} = 60 m$ erreicht wird. Wir verwenden dazu erneut die Gleichung $y_{s} = c - \frac{b^{2}}{4 a},$ setzten die vorgegebenen Werte ein und lösen dieses Mal nach $v_{0}$ auf:
  $\begin{matrix} 60 & = & 55 - \frac{v_{0}^{2}}{4 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 9,81)} \\ \Leftrightarrow 60 & = & 55 - \frac{v_{0}^{2}}{- 2 \cdot 9,81} \\ \Leftrightarrow 60 & = & 55 - \frac{v_{0}^{2}}{- 19,62} \\ \Leftrightarrow 5 & = & \frac{v_{0}^{2}}{19,62} \\ \Leftrightarrow 98,1 & = & v_{0}^{2} \\ \Leftrightarrow v_{0} & = & \pm \sqrt{98,1} \approx \pm 9,90 . \end{matrix}$
  Da eine negative Lösung als Anfangsgeschwindigkeit ausgeschlossen werden kann, brauchen wir also eine Anfangsgeschwindigkeit von $v_{0} \approx 9,9 \frac{m}{s} .$
  Um eine Flugzeit von $6$ Sekunden zu bekommen, setzen wir wie oben $x = 6$ und $y = 0$ in die Ausgangsgleichung ein und berechnen $v_{0} :$
  $\begin{matrix} 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 6^{2} + v_{0} \cdot 6 + 55 \\ \Leftrightarrow 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 36 + v_{0} \cdot 6 + 55 \\ \Leftrightarrow 0 & = & - 18 \cdot 9,81 + v_{0} \cdot 6 + 55 \\ \Leftrightarrow 0 & = & - 176,58 + v_{0} \cdot 6 + 55 \\ \Leftrightarrow 0 & = & - 121,58 + v_{0} \cdot 6 \\ \Leftrightarrow 121,58 & = & v_{0} \cdot 6 \\ \Leftrightarrow v_{0} & \approx & 20,26 . \end{matrix}$
  Wir benötigen dann also eine Anfangsgeschwindigkeit $v_{0} \approx 20,26 \frac{m}{s} .$
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  Aufgabe 17aufgabe_17
  
  Der Graph einer Parabel geht durch den Punkt $(1; 3)$ . Außerdem besitzt die Parabel den Scheitelpunkt $(- 2; - \frac{3}{2})$ . Wie lautet die Funktionsvorschrift der Parabel in der Darstellung einer ausmultiplizierten quadratischen Funktion? $f (x) =$
  1/2*x^2 + 2x + 1/2
  
  0,5x^2+2x+0,5
  
  Kontrolle
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  Wir bestimmen den Funktionsterm der Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei $(- 2; - \frac{3}{2})$ hat, und die durch den Punkt $(1; 3)$ verläuft.
  
  Wir setzen den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein:
  $y = a (x + 2)^{2} - \frac{3}{2} .$
  Den Parameter $a$ bestimmen wir mit dem Punkt $(1; 3)$ :
  $\begin{matrix} 3 & = & a (1 + 2)^{2} - \frac{3}{2} \\ \frac{9}{2} & = & 9 a \\ \frac{1}{2} & = & a . \end{matrix}$
  Die Scheitelpunktform der Parabel ist also
  
  $y = \frac{1}{2} (x + 2)^{2} - \frac{3}{2} .$
  Multiplizieren wir diese Gleichung aus, erhalten wir die gewünschte Form:
  $\begin{matrix} f (x) & = & \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + 4) - \frac{3}{2} \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 - \frac{3}{2} \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} . \end{matrix}$
  
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