Abschnitt: Ergänzungen | Quadratische Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Quadratische Funktionen
  
  Ergänzungen
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_elmtfkt_quadratische_
  
  Quadratische Funktionen
  
  5
  
  3
  
  bereich_9
  Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
  Man kann die linearen und quadratischen Funktionen verallgemeinern, indem man auch höhere Exponenten als zwei zulässt. Geraden werden durch Funktionsvorschriften der Gestalt $f_{1} (x) = a_{1} x + a_{0}$ gegeben. Hierin enthalten ist der Sonderfall $a_{1} = 0$ mit der Funktionsvorschrift $f_{0} (x) = a_{0}$ , der eine Parallele zur $x$ -Achse darstellt. Nehmen wir die nächst höhere Potenz hinzu, so entsteht die quadratische Funktionsvorschrift einer Parabel $f_{2} (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ . Kubische Parabeln haben Funktionsvorschriften der Gestalt $f_{3} (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ . Allgemein kann man nun auch den Ausdruck
  $f_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$
  für eine beliebige natürliche Zahl $n$ betrachten. Diese Funktionsvorschrift bezeichnet man als Polynom $n$ -ten Grades mit $a_{n} \neq 0$ .
  
  Bild 20 Graphen der Polynomfunktion $f : ℝ \to ℝ$ mit der Funktionsvorschrift $f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ (rot), $g : ℝ \to ℝ$ mit $g (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 3$ (blau) und $h : ℝ \to ℝ$ mit $h (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ (schwarz).
  
  Definition 3definition_3
  Unter einer Polynomfunktion vom Grad $n \in ℕ$ versteht man eine Funktion $f : ℝ \to ℝ$ , die durch folgende Funktionsvorschrift gegeben ist:
  $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{i} x^{i} + \dots + a_{1} x + a_{0}$
  mit $a_{n} \neq 0$ und $a_{i} \in ℝ mit i = 1, \dots, n$ .
  Die Parameter $a_{i} \in ℝ$ werden dabei als Koeffizienten bezeichnet. Das Nullpolynom $f_{0} (x) = 0$ hat keinen Grad.
  
  Satz 2satz_2
  Für zwei Polynomfunktionen vom Grad $n$
  $\begin{matrix} P_{n} : & ℝ \to ℝ \\ mit & P_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ Q_{n} : & ℝ \to ℝ \\ mit & Q_{n} (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0} . \end{matrix}$
  $(a_{n} \neq 0, b_{n} \neq 0)$
  gilt $P_{n} (x) = Q_{n} (x)$ für alle $x \in ℝ$ genau dann, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen (d.h. $a_{i} = b_{i}$ für alle $i = 0, \dots, n)$ .
  Durch Koeffizientenvergleich kann demnach die Gleichheit zweier Polynome überprüft werden. Insbesondere können Polynome verschiedenen Grades nicht gleich sein.
  
  Dieser Satz kann mathematisch exakt bewiesen werden. Wir verzichten hier aber darauf.
  
  studiVEMINT und studiVEMINTvideos
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