Topic: Hinführung | Quadratische Funktionen

Chapter 1 Studifinder - 1.5 Elementare Funktionen - Quadratische Funktionen

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Hinführung

Datum Sep 28, 2026

orca_elmtfkt_quadratische_

Quadratische Funktionen

Wir stellen uns vor, dass jemand auf dem schiefen Turm von Pisa einen Ball senkrecht nach oben wirft. Der Ball unterliegt der Erdanziehungskraft und fällt zu Boden. Die Anziehungskraft der Erde auf eine Masse

m

wird beschrieben durch

Kraft = Masse \cdot Beschleunigung

mit der konstanten Erdbeschleunigung

g = 9,81 \frac{m}{s^{2}} .

Das Weg - Zeit - Gesetz für den freien Fall ist eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung

g

, wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt. Wir lassen die Bewegung zum Zeitpunkt

x_{0} = 0

beginnen und geben zu späteren Zeiten

x

den Abstand des Balles vom Boden

h

an. Wir benötigen noch Angaben über die Anfangshöhe

h_{0}

(Abstand des Balles vom Erdboden zur Zeit

x_{0} = 0

) und über die Anfangsgeschwindigkeit

v_{0}

(Geschwindigkeit, mit welcher der Ball nach oben geworfen wird). Damit ergibt sich für die Höhe

h

h = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot x^{2} + v_{0} \cdot x + h_{0} .

Dabei ist die Beschleunigung negativ, da das Objekt nach unten angezogen wird. Für unseren Ballwurf gehen wir von einer Anfangshöhe von

h_{0} = 52 m

und eine Geschwindigkeit von

v_{0} = 10 \frac{m}{s}

aus. Damit erhalten wir mit dem Weg-Zeit-Gesetz die Funktionsvorschrift

\begin{matrix} h & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 \\ \Leftrightarrow h & = & - 4,905 x^{2} + 10 x + 52, \end{matrix}

welches die Zuordnung Zeit

\to

Höhe des Balles zum Erdboden beschreibt. Die Zeit

x

wird hierbei in Sekunden und die Höhe

h

in Metern angegeben, die Einheiten wurden der Einfachheit halber weggelassen.

Video 2

Aufgabe 1

Berechnen Sie, welche Höhe der Ball nach einer Sekunde, zwei, drei, vier und fünf Sekunden hat. Runden Sie auf eine Nachkommastelle.

Zeit in Sekunden	Abstand vom Erdboden in Metern
$1$	57,1
$2$	52,4
$3$	37,9
$4$	13,5
$5$	0

Kontrolle

Lösung anzeigen

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Die Höhe des Balles lässt sich durch Einsetzen in die Funktionsvorschrift

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 .

bestimmen. Dadurch erhalten wir für die jeweilige Zeit:

$x = 1$ Sekunde:	$h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + 52 = 57,095 \approx 57,1$
$x = 2$ Sekunden:	$h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 + 52 = 52,38 \approx 52,4$
$x = 3$ Sekunden:	$h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 3^{2} + 10 \cdot 3 + 52 = 37,855 \approx 37,9$
$x = 4$ Sekunden:	$h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 4^{2} + 10 \cdot 4 + 52 = 13,52 \approx 13,5$
$x = 5$ Sekunden:	$h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 5^{2} + 10 \cdot 5 + 52 = - 20,625$

Der Ball hat allerdings bereits vor Ablauf der fünften Sekunden den Boden erreicht, wie man an dem negativen Wert erkennen kann. Er befindet sich zu diesem Zeitpunkt also nicht bei

h = - 20,625 m

unter der Erdoberfläche, sondern auf dem Boden, also bei

h = 0

.
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Offensichtlich endet die Fallbewegung mit dem Zeitpunkt

x_{A}

, zu welchem der Ball auf den Erdboden trifft. Um die Fallzeit zu errechnen, bei der der Ball auftrifft, setzen wir die Höhe auf Null und berechnen den zugehörigen Zeitpunkt

x_{A}

- \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 = 0 .

Im Unterschied zu Nullstellen von Geraden haben wir nun eine quadratische Gleichung. Wir formen um:

x^{2} - \frac{2}{9,81} \cdot 10 x - \frac{2}{9,81} \cdot 52 = 0

bzw.

x^{2} - \frac{20}{9,81} \cdot x - \frac{104}{9,81} = 0 .

Nach der

p

q

- Formel besitzt die quadratische Gleichung

x^{2} + p x + q = 0

folgende Lösungen:

x_{1}, x_{2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} .

Im vorliegenden Beispiel erhält man:

x_{A} = \frac{10}{9,81} \pm \sqrt{\frac{10^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{104}{9,81}} .

Infrage kommen also die Zeitpunkte

x_{A} = \frac{10}{9,81} + \sqrt{\frac{10^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{104}{9,81}} \approx 4,43119

und

x_{A} = \frac{10}{9,81} - \sqrt{\frac{10^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{104}{9,81}} \approx - 2,39246 .

Die negative Fallzeit kann ausgeschlossen werden. Dieser Zeitpunkt liegt in der Vergangenheit vor dem Beginn des Ballwurfs. Der Ball trifft somit nach der Fallzeit

x_{A} \approx 4,43119

Sekunden auf dem Boden auf.

Bild 1 Zeit des Aufpralls des Balls auf den Boden

Schauen wir uns nun den Vorgang noch einmal vollständig an:
Nach dem Hochwerfen gewinnt der Ball zunächst an Höhe. Er steigt auf bis zum Umkehrpunkt (Scheitelpunkt), geht dort in die Fallbewegung über und fällt dann zu Boden. Alle Höhen oberhalb der Ausgangshöhe werden zweimal durchlaufen. Einmal in der aufsteigenden und einmal in der fallenden Bewegung. Die einzige Ausnahme bildet die Scheitelhöhe, die nur zu einem einzigen Zeitpunkt erreicht wird. Damit unterscheidet sich diese quadratische Funktion von den linearen Funktionen, wo jeder Funktionswert eindeutig zu einem Argument zugewiesen werden kann.

Bild 2 Höhen oberhalb von

h_{0} = 52

und Scheitelhöhe

Für Höhen

h

ergibt sich der dazugehörige Zeitpunkt aus der Gleichung:

- \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 = h

bzw.

x^{2} - \frac{2}{9,81} \cdot 10 x - \frac{2}{9,81} \cdot 52 + \frac{2}{9,81} \cdot h = 0 .

Wir lösen die Gleichung wieder mit der

p

q

- Formel:

\begin{matrix} x & = & \frac{10}{9,81} \pm \sqrt{\frac{10^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{104}{9,81} - \frac{2}{9,81} h} \\ = & \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h} . \end{matrix}

Die Lösungsformel lässt folgende Schlüsse zu:

Die Scheitelhöhe $h_{s}$ entspricht dem größtmöglichen Wert für $h$ , der in die Lösungsformel eingesetzt werden kann. Dann verschwindet der Ausdruck unter der Wurzel. Für noch größere Werte von $h$ würde er negativ und man könnte keine (relle) Wurzel ziehen.
$(* *) 10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h_{s} = 0,$
also
$h_{s} = 52 + \frac{1}{2} \cdot \frac{10^{2}}{9,81} \approx 52 + 5,09684 \approx 57,0968 .$
Für $h > h_{s} \approx 57,0968$ würde man für den Term unter der Wurzel negative Werte erhalten
$10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h < 0 .$
Da wir aus negativen Zahlen keine (reellen) Wurzeln ziehen können, werden größere Höhen als $h_{S}$ nie erreicht.
Für Höhen $h < h_{s} \approx 57,0968$ ist der Term unter der Wurzel immer positiv:

$10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h > 0 .$
Man erhält für Höhen $52 < h < h_{s}$ zwei verschiedene positive Zeitpunkte, da für beide Vorzeichen gilt
$x_{0,1} = \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h} > 0 .$
und beide Vorzeichen in der Formel führen zu einem dazugehörig positiven Zeitpunkt:
$x = \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h} .$
Bei Höhen $h < 52$ erhalten wir jeweils nur einen positiven Zeitpunkt, da jeweils für die Vorzeichen gilt

$x_{0} = \frac{10}{9,81} + \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h} > 0,$

$x_{1} = \frac{10}{9,81} - \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h} < 0 .$

Damit kommt nur der positive Zeitpunkt für diese Höhen in Frage.

Bild 3 Zu verschiedenen Höhen gehörende Zeiten

Berechnen Sie, zu welchen Zeiten die Höhen

h = 54

und

h = 40

durchlaufen werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Die Höhe

h = 54

wird zu den Zeiten

x_{1} =

Sekunden und

x_{2} =

Sekunden durchlaufen.

Die Höhe

h = 40

wird zum Zeitpunkt

x =

Sekunden durchlaufen.

Kontrolle

Lösung anzeigen

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Der Funktionsgraph der Wurfparabel lautet

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 .

Um die Zeiten zu bestimmen, wann der Ball eine Höhe von

h = 54

Metern hat, setzen wir gleich:

54 = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 .

Wir formen um:

\begin{matrix} 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x - 2 \\ = & x^{2} - \frac{20}{9,81} \cdot x + \frac{4}{9,81} \end{matrix}

Jetzt können wir die p - q - Formel anwenden.

\begin{matrix} x_{1 / 2} & = & \frac{10}{9,81} \pm \sqrt{{(\frac{10}{9,81})}^{2} - \frac{4}{9,81}} \\ = & \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{100 - 4 \cdot 9,81} \\ = & \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{60,76} . \end{matrix}

Es ergibt sich:

x_{1} = 0,225 Sek, x_{2} = 1,814 Sek .

Gerundet auf eine Nachkommastelle also

x_{1} = 0,2

und

x_{2} = 1,8

Sekunden.

In analoger Weise können wir berechnen, wann der Ball eine Höhe von

h = 40

Metern erreicht hat:

\begin{matrix} 40 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 \\ \Leftrightarrow 0 & = & x^{2} - \frac{20}{9,81} x - \frac{24}{9,81} \end{matrix}

p - q - Formel:

x_{1 / 2} = \frac{10}{9,81} \pm \sqrt{{(\frac{10}{9,81})}^{2} + \frac{24}{9,81}}

Es ergibt sich:

x_{1} = - 0,848

und

x_{2} = 2,886

. Wir betrachten aber nur positive Zeiten. Demnach hat der Ball eine Höhe von

40

Metern

2,886

Sekunden nach dem Abwurf.
Hier ergibt sich beim Runden auf eine Nachkommastelle also

x = 2,9

Sekunden.

Alternativ hätten wir die Lösungen auch erhalten, wenn wir die Höhen

h

direkt in die oben angegebene Lösungsformel

x = \frac{10}{9,81} \pm \frac{1}{9,81} \sqrt{10^{2} + 9,81 \cdot 104 - 2 \cdot 9,81 \cdot h}

eingesetzt hätten.
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Die Scheitelhöhe stellt das Maximum der erreichbaren Höhen dar. Wir können das Maximum der Funktionswerte der quadratischen Funktion mittels Differentialrechnung bestimmen (siehe hierzu Kurs Differentialrechnung). Wir können aber auch elementar mit Gleichung (**) und der

p

q

- Formel zum Ziel kommen. Wir brauchen diese Formel nicht einmal explizit zu benutzen, wie folgende Überlegung zeigt (Qudratische Ergänzung, siehe Kurs Terme und Gleichungen):

\begin{matrix} h & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52 \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 (x^{2} - \frac{20}{9,81} x) + 52 \\ = & 52 + \frac{1}{2} \cdot \frac{10^{2}}{9,81} - \frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x - \frac{10}{9,81})}^{2} \\ = & 57,0968 - \frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x - \frac{10}{9,81})}^{2} . \end{matrix}

Die Höhe

h

wird als Differenz dargestellt. Von der Scheitelhöhe:

h_{s} \approx 57,0968

wird folgende Höhe abgezogen:

\frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x - \frac{10}{9,81})}^{2} .

Die Differenz beträgt Null bei der Zeit

x_{s} = \frac{10}{9,81} \approx 1,01937 .

Nehmen wir nun an, eine zweite Person ist nicht so kräftig wie der erste Werfer und kann nur eine Anfangsgeschwindigkeit von 5

\frac{m}{s}

realisieren. Die zweite Person stellt sich aber dafür auf eine Kiste und erreicht die Anfangshöhe 53 m. Welche Scheitelhöhe erreicht der Ball nun und wie lange bleibt er in der Luft? Das Weg - Zeit - Gesetz lautet mit den neuen Anfangsbedingungen:

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 5 x + 53 .

Die Höhe

h

kann hier als Differenz dargestellt werden:

(1) h = 53 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5^{2}}{9,81} - \frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x - \frac{5}{9,81})}^{2} .

Hieraus ergibt sich die Scheitelhöhe:

h_{s} = 53 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5^{2}}{9,81} \approx 53 + 1,27421 \approx 54,27421 .

Die Zeit, die vergeht bis der Ball auf den Boden auftrifft, beträgt:

(2) x_{A} = \frac{5}{9,81} + \sqrt{\frac{5^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{2 \cdot 53}{9,81}} \approx 3,83611 .

Bild 4 Die beiden Wurfparabeln

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 10 x + 52

und

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 5 x + 53

Aufgabe 2

Leiten Sie die Gleichungen

(1)

und

(2)

her.
Lösung anzeigen

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Das Weg - Zeit - Gesetz für den Wurf der zweiten Person lautet

h = - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 5 x + 53 .

Wir formen mithilfe quadratischer Ergänzung um:

\begin{matrix} h & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 (x^{2} - \frac{10}{9,81} x) + 53 \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 (x^{2} - \frac{10}{9,81} x + {(\frac{5}{9,81})}^{2} - {(\frac{5}{9,81})}^{2}) + 53 \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 (x^{2} - \frac{10}{9,81} x + {(\frac{5}{9,81})}^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{5^{2}}{9,81} + 53 \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x^{2} - \frac{5}{9,81})}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5^{2}}{9,81} + 53 \\ = & 53 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5^{2}}{9,81} - \frac{1}{2} \cdot 9,81 {(x^{2} - \frac{5}{9,81})}^{2} . \end{matrix}

Nun zur Herleitung von Gleichung (

2

):
Wenn der Ball auf den Boden trifft, hat er eine Höhe von Null Metern. Wir setzen folglich in obiger Gleichung

h = 0

\begin{matrix} 0 & = & - \frac{1}{2} \cdot 9,81 x^{2} + 5 x + 53 \\ \Leftrightarrow 0 & = & x^{2} - \frac{10}{9,81} x - \frac{2 \cdot 53}{9,81} . \end{matrix}

Mit der p - q - Formel ergibt sich:

x_{1 / 2} = \frac{5}{9,81} \pm \sqrt{{(\frac{5}{9,81})}^{2} + \frac{2 \cdot 53}{9,81}} .

Da wir nur positive Zeiten betrachten, ist der Zeitpunkt des Autritts erreicht bei

x_{A} = x_{1} = \frac{5}{9,81} + \sqrt{\frac{5^{2}}{{9,81}^{2}} + \frac{2 \cdot 53}{9,81}} .

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Aufgabe 3

Welche Anfangshöhe

h_{0}

wäre nötig, um mit der Anfangsgeschwindigkeit

5 \frac{m}{s}

dieselbe Scheitelhöhe zu erreichen wie mit der Anfangshöhe

52 m

und der Anfangsgeschwindigkeit

10 \frac{m}{s}

Berechnen Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen genau:
Die Anfangshöhe muss mindestens m

betragen.

Kontrolle

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis zusätzlich anhand des folgenden Applets:

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