Quadratische Funktionen

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Hierfür verwenden wir die Scheitelpunktform $y=a(x-x_s{)}^2+y_s$ und setzen zunächst die Koordinaten des Scheitelpunkts $(x_s;y_s)=(-2,;3)$ ein:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & a(x-x_s{)}^2+y_s\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\Rightarrow \mathrm{ }y}& =\hfill & a(x-(-2{))}^2+3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & a(x+2{)}^2+3.\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Um den Parameter $a$ zu ermitteln, setzen wir die Koordinaten des zusätzlichen Punkts $(5;7)$ in diese Gleichung ein und lösen nach $a$ auf:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{7}& =\hfill & a(5+2{)}^2+3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }7}& =\hfill & 49a+3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }4}& =\hfill & 49a\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\frac{4}{49}}& =\hfill & a.\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung $y=\frac{4}{49}(x+2{)}^2+3\hspace{0.5em}.$
 
Aus der Normalparabel ist diese Parabel durch Stauchung mit dem Faktor $\frac{4}{49}$ und anschließendes Verschieben der Kurve um $2$ Einheiten nach links und um $3$ Einheiten nach oben entstanden.
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Für die Funktion $f$ formen wir wie folgt um
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & -3x^2-2x+6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3(x^2+\frac{2}{3}x-2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3(x^2+2·\frac{1}{3}·x+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3({(x+\frac{1}{3})}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3({(x+\frac{1}{3})}^2-\frac{1}{9}-\frac{18}{9})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3({(x+\frac{1}{3})}^2-\frac{19}{9})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3{(x+\frac{1}{3})}^2+\frac{19}{3}.\hfill \end{array}}$
Wir erkennen, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Bezogen auf die Normalparabel ist sie nach oben verschoben und muss damit zwei Nullstellen besitzen, was folgendes Schaubild verdeutlicht: Man hätte auch rechnerisch die Nullstellen bestimmen können, indem man $y=0$ setzt. Dann erhält man
${\displaystyle 0=-3x^2-2x+6\mathrm{ }\iff \mathrm{ }0=x^2+\frac{2}{3}x-2.}$
Für diese Gleichung erhält man mit der $\mathrm{pq}$-Formel die beiden Lösungen
${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{1}{9}-(-2)}=-\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{20}}{3}.}$
Somit existieren zwei Nullstellen, nämlich an den Stellen $x_1=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{20}}{3}=-\mathrm{1,824}$ und $x_2=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{20}}{3}=\mathrm{1,157}$. Für die Funktion g nimmt man folgende Umformungen vor
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & 3x^2-2x+6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 3(x^2-\frac{2}{3}x+2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 3(x^2-2·\frac{1}{3}·x+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 3({(x-\frac{1}{3})}^2-\frac{1}{9}+\frac{18}{9})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 3({(x-\frac{1}{3})}^2+\frac{17}{9})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 3{(x-\frac{1}{3})}^2+\frac{17}{3}.\hfill \end{array}}$
Diese Funktion ist nach oben geöffnet und auch nach oben verschoben und kann somit keine Nullstellen besitzen, was auch der zugehörige Graph veranschaulicht: Auch hier kann man versuchen $y=0$ zu setzen und potentielle Nullstellen mithilfe der $\mathrm{pq}$-Formel berechnen:
${\displaystyle 0=3x^2-2x+6\mathrm{ }\iff \mathrm{ }0=x^2-\frac{2}{3}x+2}$

${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{1}{9}-2}=-\frac{1}{3}\pm \sqrt{-\frac{17}{9}}}$
Da der Term unter der Wurzel negativ ist, gibt es hier keine reellen Lösungen für $x$ und somit keine Nullstellen.
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a) Um Schnittpunkte zu bestimmen, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen gleich und erhalten:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{3(x+2{)}^2+2}& =\hfill & -2(x+3{)}^2-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }3x^2+12x+12+2}& =\hfill & -2x^2-12x-18-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }3x^2+12x+14}& =\hfill & -2x^2-12x-22\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }5x^2+24x+36}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }{x}^2+\frac{24}{5}x+\frac{36}{5}}& =\hfill & 0.\hfill \end{array}}$
Diese Gleichung kann man mithilfe der $\mathrm{pq}$-Formel lösen und erhält
${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{12}{5}\pm \sqrt{\frac{144}{25}-\frac{36}{5}}=-\frac{12}{5}\pm \sqrt{-\frac{36}{25}}.}$
Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Die beiden Parabeln schneiden sich also nicht. Dies kann man auch ohne Rechnung direkt an einer Skizze der Funktionen erkennen. Hierzu erstellen wir aus der Scheitelpunktform direkt eine Zeichnung der jeweiligen Graphen in einem Koordinatensystem: Offensichtlich schneiden sich die ersten beiden Graphen nicht.
b) Wir setzen wieder die Funktionsgleichungen gleich:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{(x+1{)}^2+1}& =\hfill & 2(x-3{)}^2-3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^2+2x+1+1}& =\hfill & 2x^2-12x+18-3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^2+2x+2}& =\hfill & 2x^2-12x+15\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{-x^2+14x-13}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^2-14x+13}& =\hfill & 0\hfill \end{array}}$
Diese Gleichung kann man mithilfe der $\mathrm{pq}$-Formel lösen und erhält
${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=7\pm \sqrt{49-13}=7\pm 6.}$
Somit ergeben sich zwei Schnittstellen. Eine bei $x_1=1$ und $x_2=13$. Auch zu dem Ergebnis, dass mindestens ein Schnittpunkt existiert, kann man durch das Skizzieren der Funktionen schnell gelangen. Jedoch würde man den zweiten Schnittpunkt eventuell übersehen, wenn man nur den Ausschnitt von $x=-4$ bis $x=7$ betrachtet. Das Tückische an dieser Skizze ist, dass Parabeläste häufig so weiter verlaufen, dass kein weiterer Schnittpunkt zu erwarten ist. Hier dagegen existiert ein zweiter Schnittpunkt, wie man an folgendem Ausschnitt erkennt:
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Dazu führen wir den Funktionsterm in die Scheitelpunktform über:

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & -2x^2+2x+\frac{5}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2(x^2-x-\frac{5}{4})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2(x^2-2·\frac{1}{2}·x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2({(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}-\frac{5}{4})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2({(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{3}{2})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -2{(x-\frac{1}{2})}^2+3\hfill \end{array}}$
Der Scheitelpunkt ist damit also $S(\frac{1}{2};3)\hspace{0.5em}.$ Gemäß der Definition 2 muss es sich bei $S$ um einen Hochpunkt handeln, da für den Vorfaktor $-2<0$ gilt.
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Wir überprüfen durch Einsetzen:

• $(0;5):$
  ${\displaystyle -\frac{1}{2}·0^2+3·0+5=5}$
  Also gehört dieser Punkt zum Graphen.
• $(-1;10):$
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{}& \hfill & -\frac{1}{2}·(-1{)}^2+3·(-1)+5\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\frac{1}{2}+2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{3}{2}\ne 10\hfill \end{array}}$
  Somit gehört dieser Punkt nicht dazu.
• $(1;\frac{15}{2}):$
  ${\displaystyle -\frac{1}{2}·1^2+3·1+5=-\frac{1}{2}+8=\frac{15}{2}}$
  Dieser Punkt ist demnach Element des Graphen.
• $(3;\frac{19}{2}):$
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{-\frac{1}{2}·3^2+3·3+5}& =\hfill & -\frac{1}{2}·9+9+5\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\frac{9}{2}+14\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\frac{9}{2}+\frac{28}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{19}{2}\hfill \end{array}}$
  Auch der Punkt $(3;\frac{19}{2})$ gehört damit zum Graphen.
• $(5;5):$
  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{-\frac{1}{2}·5^2+3·5+5}& =\hfill & -\frac{1}{2}·25+15+5\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\frac{25}{2}+20\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -\frac{25}{2}+\frac{40}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{15}{2}\ne 5\hfill \end{array}}$
  Der letzte Punkt gehört demnach nicht zum Graphen.

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Vorbemerkung: Bei der Bestimmung der Funktionsvorschriften suchen wir nach Punkten (im Idealfall nach dem Scheitelpunkt), die einfach abzulesende Koordinaten zu haben scheinen. Aufgrund von Ungenauigkeiten in der Zeichnung oder beim Ablesen können Fehler auftreten, sodass die auf dieser Basis berechneten Funktionsgleichungen u.U. nur Näherungen darstellen.
 
Grüner Graph
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist der Punkt $S_1(0;\mathrm{3,5})\hspace{0.5em}.$ Geht man von hier aus um eine Einheit nach rechts, erreicht man den Graphen wieder, wenn man um $\frac{1}{4}$ Einheiten nach oben geht. Der Vorfaktor $a$ ist damit $\frac{1}{4}\hspace{0.5em}.$ Mit Hilfe der Scheitelpunktform $y=a·(x-x_S{)}^2+y_S$ erhalten wir somit die Funktionsvorschrift $f(x)=\frac{1}{4}(x-0{)}^2+\mathrm{3,5}=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{7}{2}\hspace{0.5em}.$
 
Orangefarbener Graph
Der Scheitelpunkt kann bei $S_2(\mathrm{1,5};0)$ abgelesen werden. Des Weiteren scheint der Punkt $(\mathrm{6,5};\mathrm{2,5})$ Element des Graphen zu sein. Wir verwenden also die Scheitelpunktform $y=a·(x-\mathrm{1,5}{)}^2+0=a·(x-\mathrm{1,5}{)}^2\hspace{0.5em},$ setzten die Koordinaten dieses Punkts ein und berechnen das noch fehlende $a:$
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\mathrm{2,5}}& =\hfill & a·(\mathrm{6,5}-\mathrm{1,5}{)}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\mathrm{2,5}}& =\hfill & a·5^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\mathrm{2,5}}& =\hfill & a·25\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\frac{5}{2}·\frac{1}{25}}& =\hfill & a\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }a}& =\hfill & \frac{1}{10}.\hfill \end{array}}$
Damit lautet die Funktionsgleichung $y=\frac{1}{10}(x-\frac{3}{2}{)}^2\hspace{0.5em}.$
 
Roter Graph
Den Scheitelpunkt des roten Graphens können wir als $S_3(-2;-\mathrm{1,5})$ ablesen, d.h. die Funktionsgleichung muss $y=a·(x+2{)}^2-\mathrm{1,5}$ lauten, wobei $a$ noch zu bestimmen ist. Gehen wir vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, müssen wir um $2$ Einheiten nach unten gehen, um wieder beim Graphen zu sein, d.h. es muss $a=-2$ gelten. Somit ergibt sich mit der Scheitelpunktform die Funktionsvorschrift $f(x)=-2(x+2{)}^2-\mathrm{1,5}\hspace{0.5em}.$
 
Blauer Graph
Beim blauen Graph können wir den Scheitelpunkt nicht genau ablesen, sodass wir insgesamt drei Punkte zur Festlegung der Gleichung benötigen. Dazu stellen wir fest, dass die Parabel die $y-$Achse bei $y=\mathrm{2,5}$ schneidet. Somit ist $(0;\mathrm{2,5})$ der erste Punkt. Des Weiteren liegen die Punkte $(2;1)$ und $(-1;-\mathrm{0,5})$ auf dem Graphen. Diese setzen wir nun nacheinander in die allgemeine Funktionsvorschrift $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ein und berechnen die drei unbekannten Parameter $a,b$ und $c:$
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{\mathrm{2,5}}& =\hfill & a·0^2+b·0+c\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\frac{5}{2}}& =\hfill & c\hfill \end{array}}$
Damit haben wir unseren ersten Parameter $c=\frac{5}{2}$ bestimmt.
Setzen wir diesen sowie die Koordinaten des zweiten Punkts in die Ausgangsgleichung ein und lösen diese nach einer der noch unbekannten Variablen auf:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{1}& =\hfill & a·2^2+b·2+\frac{5}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{3}{2}}& =\hfill & a·4+b·2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{3}{2}-2b}& =\hfill & a·4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}b}& =\hfill & a\hfill \end{array}}$
Setzen wir nun die bisherigen Ergebnisse ($a=-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}b$ sowie $c=\frac{5}{2}$) und den dritten Punkt in die Ausgangsgleichung ein, erhalten wir:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{-\mathrm{0,5}}& =\hfill & (-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}b)·(-1{)}^2+b·(-1)+\frac{5}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{1}{2}}& =\hfill & -\frac{3}{8}-\frac{1}{2}b-b+\frac{5}{2}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-3}& =\hfill & -\frac{3}{8}-\frac{3}{2}b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{24}{8}+\frac{3}{8}}& =\hfill & -\frac{3}{2}b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{21}{8}}& =\hfill & -\frac{3}{2}b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{21}{8}·(-\frac{2}{3})}& =\hfill & b\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\frac{7}{4}}& =\hfill & b\hfill \end{array}}$
Damit ist $b=\frac{7}{4}\hspace{0.5em},c=\frac{5}{2}$ und $a=-\frac{3}{8}-\frac{1}{2}·\frac{7}{4}=-\frac{3}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{10}{8}=-\frac{5}{4}$ und die Funktionsvorschrift lautet somit insgesamt
${\displaystyle f(x)=-\frac{5}{4}{x}^2+\frac{7}{4}x+\frac{5}{2}\hspace{0.5em}.}$

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Zur Beantwortung der Frage führen wir die Funktionsvorschrift zunächst mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform über:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & -3x^2+5x-10\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3(x^2-\frac{5}{3}x+\frac{10}{3})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3(x^2-2·\frac{5}{6}·x+{\left(\frac{5}{6}\right)}^2-{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+\frac{10}{3})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3({(x-\frac{5}{6})}^2-\frac{25}{36}+\frac{120}{36})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3({(x-\frac{5}{6})}^2+\frac{95}{36})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3{(x-\frac{5}{6})}^2-\frac{95}{12}\hfill \end{array}}$
Da $-3<0$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt (Hochpunkt) bei $(\frac{5}{6};-\frac{95}{12})\hspace{0.5em}.$ Somit werden alle Werte $y\le -\frac{95}{12}$ angenommen, während alle Werte $y>-\frac{95}{12}$ als Funktionswerte nicht in Frage kommen.
 
Um letztlich noch für jeden Funktionswert $y$ die Stellen $x$ anzugeben, an denen dieser Funktionswert angenommen wird, lösen wir die Gleichung nach $x$ auf:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & -3x^2+5x-10\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & -3{(x-\frac{5}{6})}^2-\frac{95}{12}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y+\frac{95}{12}}& =\hfill & -3{(x-\frac{5}{6})}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }-\frac{y}{3}-\frac{95}{36}}& =\hfill & {(x-\frac{5}{6})}^2\hfill \end{array}}$
Wir können die Wurzel ziehen, da wir nur Funktionswerte $y$ betrachten mit $y\le -\frac{95}{12}\hspace{0.5em}.$ Damit erhalten wir
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{-\frac{y}{3}-\frac{95}{36}}& =\hfill & {(x-\frac{5}{6})}^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\pm \sqrt{-\frac{y}{3}-\frac{95}{36}}}& =\hfill & x-\frac{5}{6}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }\pm \sqrt{-\frac{y}{3}-\frac{95}{36}}+\frac{5}{6}}& =\hfill & x\hspace{0.5em},\hfill \end{array}}$
und damit die Lösung der letzten Teilaufgabe: Setzt man in der letzten Gleichung ein beliebiges $y\le -\frac{95}{12}$ ein, so erhält man die beiden zugehörigen $x\hspace{0.5em}.$

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Wir erstellen erneut eine Zeichnung der beiden Graphen in einem Koordinatensystem. Dazu müssen wir die quadratische Funktion jedoch erst in die Scheitelpunktform bringen, um schneller auf den Graphen zu kommen:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & 2x^2-3x+1\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 2(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 2(x^2-2·\frac{3}{4}x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{1}{2})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 2({(x-\frac{3}{4})}^2-\frac{9}{16}+\frac{8}{16})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 2({(x-\frac{3}{4})}^2-\frac{1}{16})\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff \mathrm{ }y}& =\hfill & 2{(x-\frac{3}{4})}^2-\frac{1}{8}.\hfill \end{array}}$
Nun können wir die beiden Graphen zeichnen: Wir sehen anschaulich, dass sich die Gerade und die Parabel in zwei Punkten schneiden. Rechnerisch ergibt sich, wenn man die beiden Funktionsterme gleich setzt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{2x^2-3x+1}& =\hfill & 5x-4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{2x^2-8x+5}& =\hfill & 0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{x^2-4x+\frac{5}{2}}& =\hfill & 0.\hfill \end{array}}$
Die pq-Formel liefert die Lösungen
${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-\frac{5}{2}}=2\pm \sqrt{\frac{3}{2}}}$
und somit $x_1\approx \mathrm{3,22}$ und $x_2\approx \mathrm{0,78}$. Diese beiden Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden stimmen mit der Skizze überein.
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Der Scheitelpunkt wurde falsch abgelesen, es liegt ein Vorzeichenfehler vor. Der Scheitelpunkt liegt bei $(x_s;y_s)=(3;0)\hspace{0.5em}.$
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Es wurde vergessen, den Vorfaktor von $x^2$ vor der quadratischen Ergänzung auszuklammern. Die quadratische Ergänzung sowie der Scheitelpunkt sind daher falsch.
Korrekte Lösung:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y}& =\hfill & -\frac{1}{2}(x^2+12x+20)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}(x^2+2·6x+36-36+20)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}((x+6{)}^2-16)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{1}{2}(x+6{)}^2-8.\hfill \end{array}}$
Somit ist der Scheitelpunkt $S(-6;-8)\hspace{0.5em}.$
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Es liegt erneut ein Vorzeichenfehler vor: $f$ wurde um $-7$ in $y$-Richtung verschoben, d.h. um $7$ nach unten. Der Lösende dachte möglicherweise, man müsse auch das Vorzeichen des $y$-Achsenabschnitts umdrehen, um auf die entsprechende Verschiebung zu kommen.
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