• Intro Trigonometrie
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      Datum Sep 28, 2026
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      Intro Trigonometrie
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      Willkommen!

      In der Kurzversion dieser Lerneinheit werden wir uns mit folgenden Themen beschäftigen:
      • Sinus, Cosinus und Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
      • Bestimmung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
      • Bestimmung von Winkeln im rechtwinkligen Dreieck
      Die mathematischen Inhalte in diesem Kurs sind in eine Einstiegsaufgabe eingebettet.
      Info 1
      Bemerkung:
      Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten Winkel anzugeben. Zunächst betrachten wir Winkel immer im
      textbfGradmaß, aslo zum Beispiel α= 45∘ . Im Kapitel
      textbfTrigonometrie am Einheitskreis lernen wir zusätzlich das Bogenmaß kennen. Wenn nicht anders angegeben, wird aus dem Kontext klar, welches Maß benutzt wird. Allgemein wird im geometrischen Kontext das Winkelmaß und im analytischen Kontext das Bogenmaß verwendet. Beim Rechnen mit Taschenrechner muss darauf geachtet werden, um welches Maß es sich handelt. Zum einen wird mit einem solchen Buchstabe eine Seite bezeichnet. So heißt die Strecke zwischen A und B hier c. Zum anderen wird mit den kleinen Buchstaben auch die jeweilige Länge der Seite bezeichnet. Demnach ist c auch die Länge der Strecke zwischen den Punkten A und B. Ob die Länge einer Seite oder die Seite an sich gemeint ist wird aus dem jeweiligen Kontext klar. In Formeln wird ausschließlich die Länge verwendet und auf die Maßeinheiten verzichtet.
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      Sie können diesen Schnelleinstieg auf folgende Art und Weise nutzen:
      • Indem Sie der
        Einstiegsaufgabe
        für einen problemorientierten Einstieg folgen. Hier werden Sie anhand eines Anwendungsbeispiels an die behandelten Themen herangeführt und lernen dabei kennen, wofür man die mathematischen Inhalte benötigt. Zur Wiederholung stehen die Kurzwiederholungen der einzelnen Themen jederzeit bereit.
        Klicken Sie hierfür auf den „nächste Seite“-Button unten rechts.
      • Indem Sie direkt auf die mathematischen Inhalte springen zu einem der Themen:
        Sinus, Cosinus und Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
        ,
        Bestimmung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
        oder
        Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck
        . Diese können Sie zur Wiederholung der wichtigsten Regeln nutzen und um einen Überblick über das Themengebiet zu gewinnen.
        Hierzu benutzen Sie einfach die Tab-Struktur als Navigation.
      Die Darstellung der Mathematik in diesem Kurs unterscheidet sich vermutlich in einigen Teilen von der, die Ihnen aus der Schule bekannt ist. Der Grund hierfür ist, dass der StudiKurs Mathematik über das reine Wiederholen von Schulwissen hinaus eine Brücke zur Hochschulmathematik darstellt und sich daher bereits an der Schreibweise orientiert, welche Ihnen an der Hochschule voraussichtlich begegnen wird.
      Ausführlichere Lernmaterialien zur intensiven Beschäftigung mit dem Thema finden Sie in Form der Langlerneinheiten zu diesem Wissensbereich.
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      Einführung

      Ein 20 m hoher Baum ist in Richtung der Sonne geneigt und schließt mit dem Boden einen Winkel von 80∘ ein. Der Baum wirft einen Schatten von 10 m Länge.
      7_kv_Einstieg_Trigonometrie_Skizze.png
      Bild 1 Eine Skizze zur beschriebenen Situation (nicht maßstabsgetreu)
      Berechnen Sie den Winkel α, den die Sonnenstrahlen mit dem Boden einschließen auf zwei Nachkommastellen genau. Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die Angaben aus der Skizze.
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      Zur Lösung dieser Aufgabe sollen Sie in jedem Schritt mit rechtwinkligen Dreiecken arbeiten. In diesen kann man die Längen der Seiten und Größen der Winkel mithilfe von Gleichungen bestimmen. Schauen Sie sich dazu bitte zunächst
      Sinus, Cosinus und Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
      an.
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      Wenn Sie sich noch einmal Bild 1 anschauen, ist bisher kein rechtwinkliges Dreieck zu erkennen. Durch geschickt eingezeichnete Hilfslinien kann man solche rechtwinkligen Dreieck erzeugen.
      Wir führen das Lot, was einer senkrechten Strecke zwischen einem Punkt und einer Geraden beschreibt, vom Punkt C auf die waagerechte Strecke zwischen Punkt A und B.
      7_kv_Einstieg_Trigonometrie_Skizze_2.png
      Bild 2 Das Lot h erzeugt zwei rechtwinklige Dreiecke ADC und BDC und stellt in dem Beispiel den Abstand von der Baumspitze zum Boden dar.
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      Zur Bestimmung der Größe des Winkels α wird nun folgender Plan aufgestellt:
      1. Die Längen x und h kann man im Dreieck BDC berechnen, da alle Winkel und eine Seitenlänge bekannt sind.
      2. Im Dreieck ADC gilt
        tan(α)= h 10+x

        Wenn h und x berechnet sind, kann man α berechnen.
        In dem rechtwinkligen Dreieck BDC sind nun genug Angaben zu finden, um die Länge der Hilfslinie h mit einer Gleichung zu bestimmen.
      Aufgabe 1
      Bestimmen Sie die Länge der Hilfslinie h auf zwei Nachkommastellen genau und geben Sie an, welche Gleichung Sie verwendet haben.
      Die Länge der eingezeichneten Hilfslinie h beträgt h=
      m.
      Zur Lösung der Aufgabe wurde die Gleichung des
      Sinus
      Cosinus
      Tangens
      verwendet.
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
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      In dem rechtwinkligen Dreieck BDC sind die Größen aller Winkel und die Länge der Hypotenuse bekannt. Aus diesen Angaben kann die Länge der Hilfslinie h mithilfe des Sinus des Winkels 80∘ bestimmt werden.
      sin( 80∘ )= h 20

      . Durch Umstellen der Gleichung nach h erhält man
      h=20·sin( 80∘ )≈20·0,98=19,60 .

      Die Länge der Hilfslinie h beträgt somit 19,60 m.

      Wenn man nicht direkt rundet, erhält man
      h=20·sin( 80∘ )≈19,70 .

      Im Folgenden wird mit dem Wert 19,60m weitergerechnet.
       
      Bemerkung

      Wenn Sie Werte für Sinus, Cosinus und Tangens mit dem Taschenrechner bestimmen wollen, muss dieser bei Winkelangaben auf Grad (Deg) einstellt werden.
      Weitere Informationen zur Bestimmung von Längen mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken erhalten Sie hier:
      Bestimmung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
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      Die Länge der Hilfslinie h beträgt 19,60 m. Es ergibt sich folgende neue Skizze:
      7_kv_Einstieg_Trigonometrie_Skizze_5.png
      Bild 3 Die Länge der Hilfslinie h beträgt 19,60 m.
      Aufgabe 2
      Bestimmen Sie die Länge der Seite x auf zwei Nachkommastellen genau und geben Sie an, welche Gleichung Sie verwendet haben.
      Die Länge der Seite x beträgt x=
      m.
      Zur Lösung der Aufgabe wurde die Gleichung des
      Sinus
      Cosinus
      Tangens
      verwendet.
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
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      Es soll die Länge der Strecke x ermittelt werden. Es sind die Länge der Hypotenuse und die Winkel im markierten Dreieck aus der Aufgabenstellung bekannt.
      Es wird die Länge der Ankathete zum Winkel 80∘ gesucht und dazu kann der Cosinus verwendet werden.
      cos( 80∘ )= x 20

      Durch Umstellen der Gleichung nach x ergibt sich
      x=20·cos( 80∘ )≈20·0,17=3,40 .

      Damit beträgt die Länge der Strecke x ungefähr 3,40 m.
      Wenn man nicht direkt rundet, erhält man
      x=20·cos( 80∘ )≈3,47m .

      Im Folgenden wird mit dem Wert 3,40m weitergerechnet.
      Weitere Lösungsmöglichkeit:
      Man kann auch den Tangens verwenden, wenn die Seite h aus der vorigen Aufgabe als bekannt vorausgesetzt wird. Dann erhalten wir
      tan( 80∘ )= 19,6 x    ⇒   x= 19,6 tan( 80∘ ) ≈ 19,6 5,67 ≈3,47 .

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      7_kv_Einstieg_Trigonometrie_Skizze_7.png
      Bild 4 Alle ermittelten Werten wurden in das Bild eingetragen.
      Die Länge der gesamten unteren Seite berägt damit 13,40 m.
      Aufgabe 3
      Bestimmen Sie die Größe des Winkels α auf zwei Nachkommastellen genau und geben Sie an, welche Gleichung Sie verwendet haben.
      Die Größe des Winkels α beträgt
      ∘ .
      Zur Lösung der Aufgabe wurde die Gleichung des
      Sinus
      Cosinus
      Tangens
      verwendet.
      Kontrolle
      Lösung anzeigen
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      Aus der Skizze kann entnommen werden, dass die Länge der Ankathete zu α, die Länge der Gegenkathete zu α und ein Winkel bekannt sind. Um den Winkel α zu bestimmen, wird daher der Tangens verwendet. Es ergibt sich die folgende Gleichung
      tan(α)= 19,60 13,40  .

      Diese Gleichung wird nun nach α aufgelöst durch die Umkehrung des Tangens, dem Arkustangens arctan, der auf dem Taschenrechner durch die Taste tan-1 dargestellt wird. Dadurch ergibt sich
      α= tan-1 ( 19,6 13,4 )= tan-1 (1,46)≈55,59   ∘  .

      Der Winkel α hat eine Größe von 55, 59∘ .
      Falls Sie zuvor die Werte h=19,70m und x=3,47m ermittelt haben, erhalten Sie als Lösung
      α= tan-1 ( 19,7 13,47 )≈55,63   ∘  .

      Bemerkung
      Bei der Verwendung von tan-1 werden Werte für α zwischen 0∘ und 90∘ geliefert.
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      Der Winkel, den die Sonnenstrahlen mit dem Boden einschließen, beträgt α=55, 59∘ .
      Weitere Informationen zur Bestimmung von Winkeln mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken erhalten Sie hier:
      Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck
      Was Sie in der ausführlichen Lerneinheit dieses Wissensbereichs erwartet, können Sie im Ausblick nachlesen:
      Zusammenfassung
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