Abschnitt: Anwendung | Die Logarithmusfunktion

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Logarithmusfunktionen
  
  Anwendung
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_logfkt_
  
  Logarithmusfunktionen
  
  8
  
  3
  
  bereich_5
  
  Aufgabe 6aufgabe_6
  
  Kondensatoraufladung
  Ein Kondensator befindet sich in einem Stromkreis mit einer Spannungsquelle und einem Widerstand.
  
  Bild 4 Kondensatoraufladung
  
  Der Aufladungsvorgang für Zeitpunkte $t \geq 0$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:
  $u_{C} : ℝ_{0}^{+} \to ℝ mit u_{C} (t) = U_{1} (1 - e^{- \frac{t}{R C}}),$
  wobei $u_{C} (t)$ die auf den Kondensator zu einem Zeitpunkt $t$ „aufgeladene“ Spannung ist. $U_{1}$ bezeichnet die Spannung an der Gleichstromquelle, $R$ den Widerstand der Stromleitung, über die der Kondensator aufgeladen wird, und $C$ die Kapazität des Kondensators.
  
  Bild 5 Die Funktion $u_{C} (t)$ mit $u_{c} = U_{1} (1 - e^{- \frac{t}{R C}})$
  
  Zu welcher Zeit $t_{1}$ beträgt die Spannung am Kondensator $u_{C} = \frac{U_{1}}{2}$ , wenn die Kapazität $C = 0,01$ und der Widerstand $R = 10$ beträgt? (Alle Einheiten wurden hier der Einfachheit halber weggelassen.) Runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
  $t_{1} =$
  0,07
  
  Sekunden
  
  Kontrolle
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  Zum Zeitpunkt $t_{1}$ soll gelten: $u_{C} = \frac{U_{1}}{2}$ . Eingesetzt in die Funktionsgleichung bedeutet dies:
  $\frac{U_{1}}{2} = U_{1} (1 - e^{- \frac{t_{1}}{R C}})$
  Dies löst man nach $t_{1}$ auf:
  $\begin{matrix} \frac{U_{1}}{2} & = & U_{1} (1 - e^{- \frac{t_{1}}{RC}}) & | : U_{1} \\ \frac{1}{2} & = & 1 - e^{- \frac{t_{1}}{RC}} & | - \frac{1}{2} + e^{- \frac{t_{1}}{RC}} \\ e^{- \frac{t_{1}}{RC}} & = & 1 - \frac{1}{2} \\ e^{- \frac{t_{1}}{RC}} & = & \frac{1}{2} & | \ln \\ - \frac{t_{1}}{RC} & = & \ln (\frac{1}{2}) & | Log-Gesetze \\ - \frac{t_{1}}{RC} & = & \ln (1) - \ln (2) \\ - \frac{t_{1}}{RC} & = & 0 - \ln (2) & | \cdot (- 1) \\ \frac{t_{1}}{RC} & = & \ln (2) & | \cdot R \cdot C \\ t_{1} & = & R \cdot C \cdot \ln (2) \end{matrix}$
  
  $\Rightarrow t_{1} \approx 10 \cdot 0,01 \cdot 0,69315 \approx 0,07$
  
  Nach ca. $0,07$ Sekunden ist der Kondensator zur Hälfte geladen.
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