• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Logarithmusfunktionen

      Aufgaben

      Datum Sep 28, 2026
      orca_hoeherefkt_logfkt_
      Logarithmusfunktionen
      8
      3
      Aufgabe 3
      Gegeben ist die Funktion f: ℝ+ →ℝ mit f(x)=a·ln(2x) mit a∈ℝ. Welchen Wert muss a haben, damit die Funktion durch den Punkt ( e 2 ;9) verläuft?
      a=
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      Für x= e 2 soll gelten f(x)=9 gelten. Nun kann man den gegebenen Punkt in die Funktionsvorschrift einsetzen und diese nach a auflösen:
      f(x) = a·ln(2x)      |  Punkt einsetzen 9 = a·ln(2· e 2 ) 9 = a·ln(e) 9 = a·1 9 = a

      Die Funktionsvorschrift muss also f(x)=9·ln(2x) lauten, damit f durch den gewünschten Punkt verläuft.
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      Aufgabe 4
      Gegeben ist die Funktion f:D→ℝ mit f(x)=a·ln(x+b) mit a,b∈ℝ und a≠0.
      Welcher maximale Definitionsbereich D kann für diese Funktion angenommen werden?
      D=ℝ
      D= ℝ+ , mit b≥0.
      D={x∈ℝ | x>-b}
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      Da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Definitionsbereich so eingeschränkt sein, dass immer (x+b)>0 gilt.
      Den maximal möglichen Definitionsbereich erhält man, wenn man D={x∈ℝ | x>-b} wählt, denn in diesem Fall darf x alle Werte annehmen, für die die Summe aus x und b größer als Null ist.
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      Video 3
      In diesem Video wird ausgehend von einem gegebenen Wertepaar und einer gegebenen Logarithmusfunktion ein fehlender Parameter in der Funktionsvorschrift bestimmt.
      Welchen Wert müssen a und b besitzen, damit die oben angegebene Funktion f durch den Punkt (-2;0) verläuft?
      Antwort für a:
      a kann man beliebig wählen, das hat keinen Einfluss auf den Verlauf durch den Punkt (-2;0).
      a muss den Wert a=1 besitzen, damit f durch den Punkt (-2;0) verlaufen kann.
      a muss den Wert a=-2 besitzen, damit f durch den Punkt (-2;0) verlaufen kann.
      Kontrolle
      Antwort für b:
      b=
      Kontrolle
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      Für den Wert x=-2 soll f(x)=0 gelten. Um die Parameter zu ermitteln kann man den Punkt (-2;0) in die Funktionsvorschrift einsetzen und auflösen:
      f(x) = a·ln(x+b)    |  Punkt einsetzen 0 = a·ln(-2+b)    | :a,    (a≠0) 0 = ln(-2+b)    |  e… e0 = -2+b    |  ausrechnen 1 = -2+b    | +2 3 = b

      Aufgrund der Einschränkung a≠0 (siehe Aufgabenstellung) erhält man eine eindeutige Lösung b=3 für den Parameter b. Für den Parameter a erhält man keine Aussage. Tatsächlich kann der Parameter a hier beliebig gewählt werden, da dies nur die Steigung der Funktion ändert, aber nicht ihren Schnittpunkt mit der x-Achse.
      Die Funktionsvorschrift muss also f(x)=a·ln(x+3) mit a∈ℝ, a≠0 lauten, damit f durch den gewünschten Punkt verläuft.
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      Aufgabe 5
      Welcher der folgenden Graphen kann zu einer Logarithmusfunktion gehören?
      8_lv_funktionen_teil3_bild3.png
      Graph a)
      Graph b)
      Graph c)
      Kontrolle
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      Graph a) gehört zur Logarithmusfunktion f:{x∈ℝ | x>-3}→ℝ mit f(x)=2·ln(x+3).
      Graph b) gehört zur Potenzfunktion g:{x∈ℝ | x≠0}→ℝ mit g(x)= 1 x2 .
      Graph c) gehört zur quadratischen Funktion h:ℝ→ℝ mit h(x)= x2 .
      Graph a) ist daher die einzige korrekte Lösung.
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