Potenzfunktionen

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Antiproportionale Zuordnungen besitzen Zuordnungsvorschriften der Form $f(x)=a·\frac{1}{x}$ bzw. $f(x)=\frac{a}{x}$ mit $a\in ℝ \backslash \{0\}$. Nur die Zuordnungsvorschriften $1$.) ($f(x)=\frac{735}{x}$) und 3.) ($f(x)=4·x^{-1}$) entsprechen diesem Kriterium. Bei $2$.) tritt die Variable $x$ in erster Potenz statt in der Potenz $-1$ auf, und bei $4$.) tritt sie in der Potenz $-2$ statt $-1$ auf.
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Eine proportionale Funktion folgt immer einer Zuordnungsvorschrift $f(x)=a·x$ mit $a\in ℝ$. Da hier durch den ersten Eintrag in der Tabelle vorgegeben ist, dass $f(2)=a·2=5$ gilt, muss $a=\frac{5}{2}=\mathrm{2,5}$ sein. Man erhält also die Zuordnungsvorschrift
${\displaystyle f(x)=\mathrm{2,5}·x\hspace{0.5em}.}$
Mit ihrer Hilfe kann man für alle Werte von $x$, die in der Tabelle aufgelistet werden, $f(x)$ berechnen. Ein alternativer Rechenweg besteht darin, auszunutzen, dass bei proportionalen Funktionen das Verhältnis (also mathematisch: der Quotient) zwischen Funktionswert $f(x)$ und Variable $x$ konstant ist. Es muss also gelten:
${\displaystyle \frac{f(x_1)}{x_1}=\frac{f(x_2)}{x_2}\hspace{0.5em}.}$
für zwei beliebige Stellen $x_1$ und $x_2$ und die dazugehörenden Funktionswerte $f(x_1)$ bzw. $f(x_2)$. Konkret heißt das, dass z. B. für $x_1=2$, $f(x_1)=5$ und $x_2=3$ gelten muss:
${\displaystyle \frac{5}{2}=\frac{f(3)}{3}\hspace{0.5em}.}$
Diese Gleichung kann man nach $f(3)$ auflösen:
${\displaystyle f(3)=\frac{5}{2}·3=\mathrm{7,5}\hspace{0.5em}.}$
Auch auf diese Art und Weise kann man sämtliche Werte berechnen, die in die Tabelle einzutragen sind. Unabhängig davon, welchen der beiden Rechenwege man wählt, erhält man folgende Tabelle:

$x$	$2$	$3$	$8$	$15$	$100$	$5000$
$f(x)$	$5$	$\mathrm{7,5}$	$20$	$\mathrm{37,5}$	$250$	$12500$

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Eine antiproportionale Funktion folgt immer einer Zuordnungsvorschrift $f(x)=\frac{a}{x}$ mit $a\in ℝ$. Da hier durch den ersten Eintrag in der Tabelle vorgegeben ist, dass $f(2)=\frac{a}{2}=5$ gilt, muss $a=5·2=10$ sein. Man erhält also die Zuordnungsvorschrift
${\displaystyle f(x)=\frac{10}{x}}$
Mit ihrer Hilfe kann man für alle Werte von $x$, die in der Tabelle aufgelistet werden, $f(x)$ berechnen. Ein alternativer Rechenweg besteht darin, auszunutzen, dass bei antiproportionalen Funktionen der Funktionswert $f(x)$ um den gleichen Faktor abnimmt wie $x$ zunimmt. Es muss also gelten:
${\displaystyle \frac{f(x_1)}{f(x_2)}=\frac{x_2}{x_1}\hspace{0.5em}.}$
für zwei beliebige Stellen $x_1$ und $x_2$ und die dazugehörenden Funktionswerte $f(x_1)$ bzw. $f(x_2)$. Konkret heißt das, dass z. B. für $x_1=2$, $f(x_1)=5$ und $x_2=3$ gelten muss:
${\displaystyle \frac{5}{f(3)}=\frac{3}{2}\hspace{0.5em}.}$
Diese Gleichung kann man nach $f(3)$ auflösen:
${\displaystyle f(3)=5·\frac{2}{3}\approx \mathrm{3,333}\hspace{0.5em}.}$
Auch auf diese Art und Weise kann man sämtliche Werte berechnen, die in die Tabelle einzutragen sind. Unabhängig davon, welchen der beiden Rechenwege man wählt, erhält man folgende Tabelle:

$x$	$2$	$3$	$8$	$15$	$100$	$5000$
$f(x)$	$5$	$\mathrm{3,333}$	$\mathrm{1,25}$	$\mathrm{0,667}$	$\mathrm{0,1}$	$\mathrm{0,002}$

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Um Schnittpunkte zu finden, setzt man die beiden Funktionsvorschriften für $x\ne 0$ gleich:
${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\multicolumn{1}{c}{\iff }& 3x^3\hfill & =\hfill & 3x^{-3}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}:3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& x^3\hfill & =\hfill & x^{-3}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}·x^3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& x^6\hfill & =\hfill & 1\hfill \end{array}}$
Es gibt also die beiden Lösungen:
${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1}$
Man findet die Schnittpunkte daher an den Stellen $x_1=-1$ und $x_2=1$. Die dazugehörigen Funktionswerte erhält man, indem man die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsvorschriften einsetzt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{y_1}& =\hfill & f(x_1)=3·(x_1{)}^3=3·(-1{)}^3=-3\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{y_2}& =\hfill & f(x_2)=3·(x_2{)}^3=3·1^3=3\hfill \end{array}}$
So ergeben sich die Schnittpunkte $(-1;-3)$ und $(1;3)$, wie auch in folgender Skizze deutlich wird:
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Um Schnittpunkte zu finden, setzt man die beiden Funktionsvorschriften für $x>0$ (das entspricht dem gemeinsamen Teil der Definitionsbereiche) gleich:
${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\multicolumn{1}{c}{}& 2x^{-1}\hfill & =\hfill & \frac{4}{5}·x^{\frac{2}{7}}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}·x\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& 2\hfill & =\hfill & \frac{4}{5}·x^{\frac{9}{7}}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}·\frac{5}{4}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& \frac{10}{4}\hfill & =\hfill & x^{\frac{9}{7}}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}\text{umschreiben}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& \frac{5}{2}\hfill & =\hfill & \sqrt[7]{x^9}\mathrm{ }\hfill & |\hspace{0.5em}\text{mit}\hspace{0.5em}7\hspace{0.5em}\text{potenzieren}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& {\left(\frac{5}{2}\right)}^7\hfill & =\hfill & x^9\hfill & |\hspace{0.5em}\sqrt[9]{},\mathrm{ }x>0\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& {\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{7}{9}}\hfill & =\hfill & x\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\iff }& x\hfill & \approx \hfill & \mathrm{2,03943}\hfill \end{array}}$
Im letzten Schritt wurde ein Taschenrechner verwendet. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man, indem man den Wert für $x$ in eine der Funktionsvorschriften einsetzt:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f\left({\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{7}{9}}\right)}& =\hfill & 2·{\left({\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{7}{9}}\right)}^{-1}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & 2·{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-\frac{7}{9}}\approx \mathrm{0,98}\hfill \end{array}}$
So ergibt sich der Schnittpunkt $x\approx \mathrm{2,04}$, $y\approx \mathrm{0,98}$, wie auch in folgender Skizze deutlich wird:
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Nur die Graphen von $f_1$ und $f_4$ können punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems sein, wie man an folgender Skizze erkennt: Wir prüfen rechnerisch nach, ob die Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems sind: Wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt, so ist dies der Fall (siehe auch Lerneinheit Elementare Funktionen). Wir rechnen nach:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f_1(-x)}& =\hfill & \frac{4}{(-x{)}^5}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{4}{(-1{)}^5·x^5}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \frac{4}{(-1)·x^5}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (-1)·\frac{4}{x^5}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -f_1(x)\hfill \end{array}}$
Dies gilt für alle $x\ne 0$. Die Funktion $f_1$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Für $f_2$ ergibt sich:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f_2(-x)}& =\hfill & \mathrm{0,1}·(-x{)}^6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,1}·(-1{)}^6·x^6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,1}·1·x^6\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & f_2(x)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}\end{array}}$
Also gilt sogar für alle $x\ne 0$, dass $-f_2(-x)\ne f_2(x)$ ist. Die Funktion $f_2$ ist also nicht punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems. Die Funktion $f_3$ ist eine Wurzelfunktion (bzw Potenzfunktion mit nicht-ganzzahligem Exponenten) und daher für $x<0$ gar nicht definiert. Sie kann daher auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems sein. Für $f_4$ ergibt sich:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f_4(-x)}& =\hfill & \mathrm{0,4}·(-x)\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & \mathrm{0,4}·(-1)·x\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & (-1)·\mathrm{0,4}·x\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{}& =\hfill & -f_4(x)\hfill \end{array}}$
für alle $x\in ℝ$. Die Funktion $f_4$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.
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Da die Funktion auf ganz $ℝ$ definiert sein soll, sind Potenzfunktionen mit negativem Exponenten ausgeschlossen, da sie für $x=0$ nicht definiert sind. Auch Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen mit nicht-ganzzahligem Exponenten sind ausgeschlossen, da diese nicht für negative Werte von $x$ definiert sind. Es bleiben also von den hier behandelten Funktionstypen nur Potenzfunktionen mit natürlichen Zahlen als Exponenten. Dass eine Potenzfunktion zur $y$ - Achse symmetrisch ist, ist nicht der Fall, wenn ihr Exponent eine ungerade Zahl ist, wie man anhand der Applets und Abbildungen im Bereich Inhalte mit Erklärungen beispielhaft erkennen kann. Es kommen also Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ mit Funktionsvorschriften der Art $f(x)=a·x^n$ mit $a\in ℝ$ und $n\in \mathbb{N}$, $n$ eine gerade Zahl, in Frage. Hier gibt es keine eindeutige Lösung, sondern mehrere Funktionen, die durch den Punkt $(1;2)$ verlaufen. Betrachten wir als erstes Beispiel die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=a·x^2$. Damit sie durch den Punkt $x=1$, $f(x)=2$ verläuft, muss gelten:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{2}& =\hfill & a·1^2\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{2}& =\hfill & a\hfill \end{array}}$
Die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2x^2$ erfüllt also alle Anforderungen. Betrachten wir als weiteres Beispiel die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=a·x^4$. Damit sie durch den Punkt $x=1$, $f(x)=2$ verläuft, muss gelten:
${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{2}& =\hfill & a·1^4\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{2}& =\hfill & a\hfill \end{array}}$
Auch die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2x^4$ erfüllt also alle Anforderungen. Wenn man weiter sucht, findet man heraus, dass auch $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=2x^6$, $f(x)=2x^8$, $f(x)=2x^{10}$ und so weiter die Bedingungen erfüllen. Das gilt für alle Funktionen $f(x)=2x^n$ mit geraden natürlichen Exponenten, denn $f(1)=2·1^n=2$ für alle $n\in \mathbb{N}$.
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