• Chapter 1 Studifinder - 1.8  Höhere Funktionen - Potenzfunktionen

      Anwendung

      Datum Sep 28, 2026
      orca_hoeherefkt_potenzfkt_
      Potenzfunktionen
      8
      1
      Aufgabe 12
      Welcher der folgenden Zusammenhänge kann durch eine proportionale Funktion beschrieben werden?
      Strompreis und Stromverbrauch: Der Verbraucher bezahle einen vorher festgelegten Grundpreis und zusätzlich einen bestimmten Preis pro kWh Stromverbrauch.
      Gewicht und Preis für Fleischwurst: Der Kunde kann frei aussuchen, wie groß das Stück sein soll, das für ihn abgeschnitten wird. Bezahlt wird nach einem Kilogramm-Preis.
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      Strompreis und Stromverbrauch: Hier besteht kein proportionaler Zusammenhang, da der Kunde immer einen vorher festgelegten Grundpreis bezahlen muss. Es entsteht daher ein linearer Zusammenhang, der mit einer Zuordnungsvorschrift f(x)=b+a·x beschrieben werden kann, wobei b der Grundpreis ist und a den Preis pro kWh Stromverbrauch beschreibt. Proportionale Funktionen hingegen besitzen Zuordnungsvorschriften f(x)=a·x mit a∈ℝ ohne den zusätzlichen additiven Term b.
      Gewicht und Preis für Fleischwurst: Hier besteht ein proportionaler Zusammenhang, wenn es keinen Mengenrabatt gibt.
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      Aufgabe 13
      Der Body-Mass-Index b ist ein Maß dafür, ob ein Mensch normalgewichtig, über- oder untergewichtig ist. Er wird für erwachsene Menschen berechnet, indem man das Körpergewicht m (in kg) durch das Quadrat der Körpergröße (in Metern) dividiert. Die Körpergröße werde hier als l bezeichnet.
      Wie lautet also die Formel, die den Zusammenhang von b, m und l beschreibt?
      b=
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      Da man das Körpergewicht m (in kg) durch das Quadrat der Körpergröße l (in Metern), also durch l2 , dividieren muss, um den Body-Mass-Index b zu erhalten, lautet die Formel
      b= m l2


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      Betrachten wir nun verschiedene erwachsene Personen mit dem gleichen Gewicht m=80  kg , aber verschiedener Größe l. Wie sieht die Kurve aus, an der man den Body-Mass-Index b dieser Personen (in Abhängigkeit von ihrer Größe l) ablesen kann? Zeichnen Sie die Kurve in einem geeigneten Ausschnitt.
      Tipp
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      Falls Ihnen die Verwendung verschiedener Buchstaben als Variablen noch Schwierigkeiten bereitet, können Sie statt der Variablen m hier auch direkt 80  kg einsetzen und die Variable l, die variiert wird, mit x bezeichnen. Sie erhalten also den Graph der Funktion f:ℝ+ →ℝ+ mit f(x)= 80 x2 .
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      Da das Gewicht m konstant gehalten wird, hängt der Body-Mass-Index b nur noch von der Körpergröße l ab. Da l quadratisch vorkommt und im Nenner steht, erhält man eine Hyperbel. Da die Formel für den Body-Mass-Index nur für erwachsene Menschen gilt, macht nur ein Ausschnitt aus dieser Hyperbel Sinn, nämlich in etwa für Körpergrößen zwischen 1,50 m und 2,10 m:
      8_lv_funktionen_teil1_bild3.png

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      Aufgabe 14
      In der Physik betrachtet man unter anderem Pendelschwingungen. Eine kleine Kugel hänge dabei an einem Faden der Länge l und schwinge hin und her. Man kann herleiten, dass für die Periodendauer T, also die Zeit, die die Kugel für eine Periode (also für genau einmal hin- und zurückschwingen) braucht, die Formel
      T=2π· l g

      gilt, wobei π≈3,14159 die Kreiszahl ist und g=9,81 m s2 die Erdbeschleunigung.
      Man kann an dieser Formel ablesen, dass die Periodendauer T von der Länge l des Fadens abhängt: Je länger der Faden ist, desto größer wird auch die Periodendauer. Der Zusammenhang ist allerdings nicht linear, da die Fadenlänge l unter einer Wurzel steht.
      Welcher der folgenden Ausschnitte aus Graphen kann zu der angegebenen Formel gehören?
      8_lv_funktionen_teil1_bild2.png
      Graph a)
      Graph b)
      Graph c)
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      Durch Vergleich mit den Graphen von Wurzelfunktionen und anderen Potenzfunktionen, die im Teil Begründung und Erklärung gezeigt werden, kann man erkennen, dass nur Graph a) zu einer Wurzelfunktion gehören kann.
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      Wie ändert sich die Periodendauer T, wenn man die Fadenlänge l vervierfacht?
      Sie verdoppelt sich.
      Sie vervierfacht sich.
      Sie nimmt um den Faktor 2 zu.
      Sie halbiert sich.
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      Die Periodendauer T hängt über die oben angegebene Formel T=2π· l g mit der Fadenlänge l zusammen.
      Für eine bestimmte Fadenlänge l1 ergibt sich also die Periodendauer
      T1 =2π· l1 g

      Wenn die zweite Fadenlänge viermal so lang ist wie die erste, kann man dies in die Formel einsetzen und erhält:
      T2 =2π· 4· l1 g

      Man kann den Faktor 4 vor den restlichen Ausdruck ziehen:
      T2 =4·2π· l1 g =2·2π· l1 g =2· T1

      Also verdoppelt sich die Periodenlänge bei Vervierfachung der Fadenlänge.

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