Abschnitt: Aufgaben | Trigonometrische Funktionen

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  Chapter 1 Studifinder - 1.8 Höhere Funktionen - Trigonometrische Funktionen
  
  Aufgaben
  
  Datum Sep 28, 2026
  
  orca_hoeherefkt_trigonfkt_
  
  Trigonometrische Funktionen
  
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  Aufgabe 2aufgabe_2
  Berechnen Sie die folgenden Sinuswerte ohne Taschenrechner, indem Sie die Periodizität und Symmetrie-Eigenschaften der Sinusfunktion benutzen:
  $\sin (143^{\circ}), \sin (217^{\circ}), \sin (323^{\circ})$
  Hinweis: $\sin (37^{\circ}) \approx 0,6018$
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  $\begin{matrix} \sin (143^{\circ}) & = & \sin (180^{\circ} - 143^{\circ}) \\ = & \sin (37^{\circ}) \approx 0,6018 \\ \sin (217^{\circ}) & = & \sin (180^{\circ} - 217^{\circ}) \\ = & \sin (- 37^{\circ}) \\ = & - \sin (37^{\circ}) \approx - 0,6018 \\ \sin (323^{\circ}) & = & \sin (180^{\circ} - 323^{\circ}) \\ = & \sin (- 143^{\circ}) \\ = & - \sin (143) \approx - 0,6018 \end{matrix}$
  
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  Aufgabe 3aufgabe_3
  Begründen Sie am Einheitskreis: $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α)$ .
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  Betrachtet man folgende Abbildung, so ist ersichtlich, dass $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α)$ gilt.
  
  Bild 23 Skizze zur Begründung von $\sin (180^{\circ} - α) = \sin (α)$
  
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  Aufgabe 4aufgabe_4
  Bestimmen Sie ohne Taschenrechner alle möglichen Lösungen für $x$ (im Bogenmaß) mit $0 \leq x \leq 2 π$ für diese Gleichungen:
  
  $\sin (x) = \frac{1}{2}$
  
  $\cos (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}$
  
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  $\frac{π}{6}$ , $\frac{5 \cdot π}{6}$
  
  $\frac{π}{4}$ , $\frac{7 \cdot π}{4}$
  
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  Aufgabe 5aufgabe_5
  Einem Studenten wird die Aufgabe gestellt:
  Aufgabe: Berechnen Sie $\sin (- 30^{\circ})$ .
  Seine Lösung lautet: $\sin (- 30^{\circ}) = \sin (30^{\circ}) = 0,5$ .
  Ist diese Lösung korrekt?
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  Bei dieser Lösung wurden die Symmetrieeigenschaften der Sinus - und Cosinusfunktion miteinander vertauscht. Hier liegt vielleicht ein Fehler im Grundverständnis von Punkt - und Achsensymmetrie vor.
  Die richtige Lösung lautet:
  $\sin (- 30^{\circ}) = - \sin (30^{\circ}) = - 0,5 .$
  
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  Aufgabe 6aufgabe_6
  Gegeben ist die Funktion $g : {x \in ℝ | - 2 π \leq x \leq 2 π} \to ℝ$ mit der Gleichung $g (x) = 2,5 \cdot \sin (3 \cdot x) + 0,5$ . Zeichnen Sie den Graphen und beschreiben Sie, wie der Graph von $g (x)$ durch Transformation des Graphen der Funktion $f : {x \in ℝ | - 2 π \leq x \leq 2 π} \to ℝ$ mit $f (x) = \sin (x)$ erzeugt werden kann.
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  Bild 24 Graphen der Funktion $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2,5 \cdot \sin (3 \cdot x) + 0,5$
  
  Der Graph der Funktion $g (x) = 2,5 \cdot \sin (3 \cdot x) + 0,5$ entsteht aus der Sinusfunktion $f (x)$ , indem man:
  
  die Sinusfunktion mit dem Faktor $2,5$ in Richtung der $y$ -Achse streckt
  
  die Sinusfunktion mit dem Faktor $3$ in Richtung der $x$ -Achse staucht
  
  und den so entstandenen Graphen um $0,5$ in Richtung der $y$ -Achse verschiebt.
  
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  Video 9video_9
  
  In diesem Video wird zu einem Funktionsgraphen einer trigonometrischen Funktion die zugehörige Funktionsvorschrift bestimmt.
  
  Aufgabe 7aufgabe_7
  Geben Sie zu dem dargestellten Graphen die Funktionsgleichung an.
  
  Bild 25 Aus der Sinusfunktion neu entstandener Graph
  
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  Im Vergleich zur Funktion $f (x) = \sin (x)$ entstand der neue Graph $g (x)$ , indem:
  
  die Sinusfunktion mit dem Faktor $0,5$ in Richtung der $y$ -Achse gestaucht wurde
  
  die Sinusfunktion mit dem Faktor $2$ in Richtung der $x$ -Achse gestaucht wurde (während einer Periode der Funktion $f (x)$ durchläuft die Funktion $g (x)$ zwei Perioden)
  
  und der so entstandene Graph um $- \frac{1}{3}$ in Richtung der $y$ -Achse verschoben wurde (der Graph der Funktion $g (x)$ wurde um $\frac{1}{3}$ in Richtung der $y$ -Achse nach unten verschoben).
  
  Die Funktionsgleichung des neuen Graphen lautet somit:
  $g (x) = 0,5 \cdot \sin (2 \cdot x) - \frac{1}{3} .$
  
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  Aufgabe 8aufgabe_8
  Begründen Sie die Aussage, dass man die Cosinusfunktion durch eine geeignete Sinusfunktion darstellen kann.
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  Wir betrachten hierzu die in der folgenden Abbildung dargestellte Sinusfunktion. Verschiebt man diese mit dem Parameter $c$ um $\frac{π}{2}$ nach links, so erhält man die Cosinusfunktion.
  
  Bild 26 Sinus - und Cosinusfunktion
  
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  Aufgabe 9aufgabe_9
  Angenommen die Veränderung der Tageslänge eines Jahres lässt sich mit einer Sinusfunktion $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x + c)) + d$ modellieren.
  
  Finden Sie die geeigneten Parameter, wenn Sie von folgenden Voraussetzungen ausgehen:
  
  Die Periodenlänge ist $365$ Tage ( $1$ Jahr)
  
  Das Maximum der Tageslänge wird am $21.6 .$ ( $172 .$ Tag) angenommen und beträgt $16,5$ Stunden
  
  Das Minimum der Tageslänge wird am $21.12 .$ ( $355 .$ Tag) angenommen und beträgt $8$ Stunden
  
  Die durchschnittliche Tageslänge wird am $21.3 .$ ( $80 .$ Tag) und am $21.9 .$ angenommen
  
  Bestimmen Sie mithilfe der oben gefundenen Gleichung die Tageslänge am $10.7 .$ ( $191 .$ Tag).
  
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  Bild 27 Funktionsgraph der Tageslänge
  
  Die Periodenlänge beträgt $365$ Tage. Somit folgt für den Parameter $b$ :
  $b = \frac{2 π}{365}$
  
  Das Maximum der Tageslänge wird am $21.6 .$ ( $172 .$ Tag) und das Minimum am $21.12 .$ ( $355 .$ Tag) angenommen.
  Für die Amplitude $a$ muss man die Differenz zwischen Maximum und Minimum nehmen und durch zwei teilen:
  $a = \frac{16,5 - 8}{2} = 4,25 .$
  
  Die Verschiebung der Sinusfunktion in y-Richtung (Parameter $d$ ) wird durch die durchschnittliche Tageslänge eines Jahres beschreiben und beträgt somit:
  $d = \frac{16,5 + 8}{2} = 12,25 .$
  
  Diese wird dabei ungefähr am $21.3 .$ (dem $80 .$ Tag) und $21.9 .$ angenommen. Damit ist auch die Phase (Parameter $c$ ) festgelegt und wir erhalten insgesamt:
  $f (x) = 4,25 \cdot \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 80)) + 12,25 .$
  
  Der $10 . Juli$ ist der $191 .$ Kalendertag. Daraus folgt:
  
  $\begin{matrix} f (x) & = & 4,25 \cdot \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (191 - 80)) + 12,25 \\ \approx & 16,26 . \end{matrix}$
  Der $10.7 .$ hat eine Tageslänge von etwa $16$ Stunden.
  
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  Aufgabe 10aufgabe_10
  Einem Studenten wurde folgende Aufgabe gestellt:
  Aufgabe: Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sin (2 \cdot x)$ in ein Koordinatensystem!
  Seine Lösung sah folgendermaßen aus:
  
  Bild 28 Studentenlösung/Falsche Zeichnung
  
  Was ist an dieser Lösung falsch? Wie muss die korrekte Zeichnung aussehen?
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  Bei dieser Lösung wurde der Graph $g (x)$ nicht mit dem Faktor $2$ gestaucht, sondern mit dem Faktor 2 gestreckt. Möglicherweise liegt hier eine Fehlvorstellung des Parameters $b$ in der allgemeinen Gleichung
  
  $f (x) = a \cdot \sin (b (x + c)) + d$
  vor. Die richtige Zeichnung sieht wie folgt aus:
  
  Bild 29 Korrekte Zeichnung
  
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